Intérieur d'un Sev normé de Dim finie

invite42abb461 · 14/10/2006, 19h11

Bonjour, j'ai lu dans une correction que si un sev de E normé de dimension finie est distinct de E, alors E est d'intérieur nul. Est ce vrai ? Si oui pourquoi ?
De plus j'aimerais savoir s'il existe une caractérisation sequentielle de l'intérieur ?
Merci pour vos infos...

inviteae1ed006 · 14/10/2006, 19h13

Ba prend une boule centré sur un point du sev, cette boule contient nécessairement un vecteur qui n'est pas dans le sev. du coup ton sev ne contient aucune boule ouverte et donc pas d'ouvert...il bien d'interieur vide

invite5fb20d44 · 14/10/2006, 19h27

Pour compléter la réponse : regarde ce qui se passe dans R³.

Une boule, c'est une sphère au sens habituel. Aucun plan ne peut la contenir.

invite42abb461 · 14/10/2006, 19h46

Envoyé par tize

cette boule contient nécessairement un vecteur qui n'est pas dans le sev.

Je ne comprends pas pourquoi ?

A voir en vidéo sur Futura · Aujourd'hui

invite5fb20d44 · 14/10/2006, 19h49

Parce que pour tout vecteur v, il y a un multiple av de v dans cette boule (si on la centre en 0).

inviteae1ed006 · 14/10/2006, 19h55

Ba simple :
on appelle V ton sev strict de E. Soit $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ le centre de la boule de rayon r inclus dans V.
Quitte à réduire w, on peut supposer que $\text{[math]}$ donc $\text{[math]}$ d'ou $\text{[math]}$ c'est absurde car alors $\text{[math]}$ appartiendrait = V

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