Bonjour, je cherche a montrer ce théoreme du cours.
Pour cela j'ai pris une suitede Cauchy. J'ai réussi a montrer qu'elle etait convergente (vers une limite, disons x) en utilisant le théoreme de Bolzano Weirstrass. Maintenant je bloque pour montrer que x est bien dans l'espace vectoriel en question. (la définition de la complétude est ainsi faite dans mon cours : la limite doit etre dans l'espace)
Un ptit coup de pouce ?
Merci d'avance.
bonsoir,
un espace vectoriel normé est dit complet si toute suite de cauchy y est convergente.
bonsoir,
je connais pas la definition d'un evn
mais x appartient a l'ensemble des valeurs d'adhérence de Un si ceci pourrait t'aider
Salut,
tu devrais ptet préciser les hypothèses du théorème : quand tu parles d'un evn de dimension finie, tu as en tête un R-evn je suppose, donc de la forme Rn puisque toutes les normes sont équivalentes en dimension finie. En outre, tu as à ta disposition le fait que R est complet (ce qui est équivalent au th. de Bolzano-Weierstrass).
Donc il s'agit de montrer que si une suite de vecteurs
Cordialement.
Je précise un peu alors car je me suis mal fait comprendre. Je considere un espace vectoriel normé E quelconque, de dimension finie. J'ai DÉJA réussi a montrer que toute suite de Cauchy
Dans ce cas, je ne sais pas si je débloque, mais les
La définition d'un evn fait-elle intervenir la nécessité que le corps de base soit complet ?
Cordialement.
Salut!
tu à effectivement raison de te poser ce genre de question, mais ici elle n'a pas lieux d'etre.
pour que ta limite puisse etre "à l'exterieur" de l'evn il aurait fallut qu'il y ai quelque chose à l'exterieur de l'ev, ie que tu considere ton evn comme une sous parti d'un ensemble plus grand, ce qui n'est pas le cas ici.
et de toute facon, quand tu utilise bolzano, il te garantie que la limite est dans l'espace.
NB: la démonstration que tu fais ici, c'est plutot celle de "compact" (ou "localement compact") => complet
dans mon cours, les evn sont des R espaces vectorielle.Envoyé par martini_bird
Dans ce cas, je ne sais pas si je débloque, mais les
La définition d'un evn fait-elle intervenir la nécessité que le corps de base soit complet ?
Cordialement.
pour s'en convaincre on peut regarder les axiomes de normes qui utilisent la fonction x->|x|, ca prouve bien qu'on les construit pas sur un corps quelconque
Si justement, mon but final est de montrer le résultat pour un sevn de dim finie . Et dans mon cours ils le déduisent du cas où E est est un evn de dim finie...Cas qu'ils démontrent en disant que c'est une "conséquence directe du théoreme de Bolzano".
Je bloque donc toujours au niveau de l'appartenance de la limite a l'ensemble...
Salut,
Je suis pas convaincu par l'argument : quand on regarde Q, on ne le voit pas forcément comme plongé danr R (bien que ce soit l'usage). D'ailleurs Q peut être complété d'une infinité de façons non-isomorphes (cf. les corps p-adiques). De la même manière la suite un=n ne converge pas dans R, mais converge dans la droite achevée
Bref tout ça pour dire, que le fait qu'un espace ne soit pas complet ne dépend pas du fait qu'il existe des choses « à l'extérieur », d'autant que ça dépend uniquement de la métrique (et non de la topologie).
Cordialement.
si la suite "converge vers un element qui n'est pas dans l'ensemble" sans qu'on ai définit un espace extérieur ca veux dire que la suite diverge.
Si on a E un espace vectorielle normé, dire que Un converge c'est dire "il existe l appartenant a E telle que N(Un-l) -> 0 " la limite est forceent dans E sinon on dit que la suite diverge.
la ou ou l'appartenance de la limite à l'espace jour un role c'est si on considère un "grand" espace normé E, et un sous espace F de E. on considère une suite de point de F et montre que en tant que suite de E elle converge, il y a alors deux cas :
1) la limite est dans F est dans ce cas la suite converge dans F
2) la limite n'est pas dans F et dans ce cas la suite est divergente si on la considère comme une suite de F !
mais ici, tu na a aucun moment considéré un espace "plus gros" : tu prend un espace vectorielle normé E quelconque et tu montre qu'il est complet. donc au moment meme ou tu dit "la suite Un converge" tu a déja montré que la limite était dans l'ensemble, comme je l'ai déja dit : "Un converge" ca signifie "il existe l appartenant a E telle que..."
c'est absurde de ce demander si la limite est dans E ou non.
et de toute facon, je te le répete encore, mais Bolzano assure que la limite est dans le sous-espace normalement...
Je suis pas convaincu. On montrerait alors que le monde entier est fermé (: Enfin je me comprends !
tu a tous a fait raison.
"soit E un espace taupologique/métrique/evn (au choix), alors E est fermé" est vrai.
la ou tu bloque c'est que tu ne fais pas assez attention au fait que les notions taupologique dépend
1) de la distace choisit : ca ne pose pas réellement de probleme ici car pour les evn on considère que des normes (pas de distance) et en dimension finit toute les normes sont équivalente.
2) de l'espace dans lequel on ce place.
quand tu dit "Un converge" ou "F est fermé" tu devrait toujour préciser "dans E"et c'est exactement ce que je ne fais pas au début, je devrait dire : "soit E un espace taupologique, alors E est fermé dans E"
quand tu as montré que Un convergait tu as forcement montré que Un convergait dans E car tu n'a pas introduit d'autre espace, et donc la limite est forcement dans E par définition.
Ok j'admets cette convention que je connaissais pas. Mais alors comment conclure si on considere que mon E est un Sev ?
Supposons que tu cherche à montrer que un ss evn F de E est fermé.
tu considère une suite de cauchy de F. tu as deux choix :
-tu peut utiliser le théorème de BW dans E, tu montrera que Un converge dans E et la effectivement tu es embeté,il faut montrer que la limite est dans F et en gros il faut montrer que F est fermé dans E (c'est toujours vrai, en dimension finit) , ce n'est pas la bonne solution.
- oublier que E existe et réflechir dans F, pour utiliser le th de BW dans F : F est un evn de dimension finit donc une suite borné de F à un valeur d'adherence dans F. et comme la suite est de cauchy elle tend vers cette valeur d'adherence.
il est absoluement capital de bien saisir ces notion de dépendance des notion de topologique à l'espace considérer : c'est le point le plus important des bases de la topologie je crois bien !
par exemple (pour illustrer ceci), il ce trouve qu'on peut prouver que tous espace métrique peut-etre considérer comme une parti d'un evn normé complet (pas forcement de dimension finit bien sur)
dans ce cas on est amené à dire que "toute les suites de cauchy converge" puisque on peut toujour trouver un espace complet qui contiens l'espace qu'on étudie... mais elle converge "dans un espace plus grand" tu vois bien qu'il est donc un peu absurde d'essayer de montrer que la suite de cauchy converge puis que la limite est dans l'ensemble : on sait d'emblé qu'elle converge dans un prolongement de l'espace étudié et on s'en moque completement.
Ok mais dans Bol W, dans mon cours, ils ne disent pas que la suite converge dans F, ou alors j'ai mal compris. La démonstration devient infaisable alors, car F n'est pas forcément fermé, et avec tes conventions, comme tu l'as di toi meme : "toute les suites de cauchy converge"
quand une suite converge elle converge forcement dans un espace precis donné. il est impossible de formuler la proposition "Un converge" sans spécifier un espace topologique (ne serait-ce que pour écrire la définition de la convergence tu doit ecrire "il existe L appartenant a _____ "), si ce n'est pas précisé c'est que c'est sous-entendu.
énonce moi le th de Bolzano Weirstrass aussi précisement que possible (il me faut l'énoncé de ton cour pour cela aussi), et je te montrerai en quoi il indique explicitement que la limite est dans F.
Il existe aussi un théoreme vrai en dimension finie..
Si E est un evn et si F est un sev de E alors F est fermé pour la topologie de E. ( et je crois que le résultat est faux en dimension infinie)
B.W.: " Toute suite bornée de E , evn, possede une valeur d'adhérence ". J'ai vérifié entre temps, une valeur d'adhérence est effectivement, par définition dans E. C'est donc un peu ambigu comme appellation, car je pensais que l'adhérence, cela pouvait inclure un point de la frontiere.
Salut,
En effet, une bonne version du théorème est :C'est donc un peu ambigu
Toute suite bornée de E , evn (on peut remplacer par espace métrique), possède une valeur d'adhérence dans E.
Cordialement.
ce n'est absoluement pas ambigu (dans le sens ou c'est regit pas des définition tres précise), mais c'est vrai que c'est un peu contre intuitif quand on commence la topologie.
NB : bien entendu, le théorème de BW est uniquement valable en dimension finit. d'ailleur on peut montrer que aucun espace de dimension infinit ne vérifie cette propriété. (th de Riesz)
Salut,
mon dernier message est à jeter, désolé.
pour vous (mais, avec votre permission, pour moi aussi), il est ptet temps de faire le point.
- une valeur d'adhérence d'une suite est la limite d'une sous-suite extraite.
- l'adhérence d'une partie E dans un espace (topologique) F est l'ensemble des points adhérents à la partie E, i.e. l'ensemble des limites dans F des suites de E.
- dans un espace compact, toute suite admet une valeur d'adhérence (donc une sous-suite extraite convergente) : pour R, c'est le théorème de Bolzano-Weierstrass.
Sommes-nous d'accord ?
Cordialement.
euh oui je suis d'accord, mais j'ai pas l'impression que Gpadide ai déja parlé de compacité, et on as apppelé Bolzano Weirstrass le th qui dit que tous les fermé borné d'un evn de dimension finit sont compact (pas uniquement pour R)
Ok je comprends mieux, mais par exemple, dans le cas de R : la suite
Ancun espace vectoriel normé de dimension infinie n'a la propriété BW. Pour les evt c'est une toute autre histoire...
Salut !
déja pour etre bien d'accord.
la suite 1-1/n est :
-convergente pour la topologe de R
-Divergente pour la topologie de ]0,1[
dans ]0,1[ la suite 1-1/n est effectivement une suite borné qui n'a pas de valeur d'adérence tu as raison. le probleme viens justement du fait que ]0,1[ n'est pas un evn de dimension finit !
pour expliquer un peu mieux le phénomène je sors un peu du cadre de ton cours :
on dit qu'un espace métrique E est compact si il vérifie la propriété suivante : toute suite Un de E admet une valeur d'adherence.
entre autre on a les implication suivante : compact => fermé (quelque soit l'espace "plus grand" qu'on considère) et compact => complet.
BW peut alors s'énoncé de la facon suivante : tous les fermé borné d'un evn sont compact.
mais ]0,1[ est un ouvert de R, il n'est donc pas compact et on peut donc trouver des suite qui n'ont pas de valeur d'adherence.
