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Endomorphisme et continuité dans un EVN



  1. #1
    henri IV

    Question Endomorphisme et continuité dans un EVN


    ------

    Bonjour,
    Est ce que quelqu'un pourrait m'expliquer pourquoi un endomorphisme de (E,N) (espace vectoriel normé de dimension quelconque) est continu si et seulement si il est continu en 0 ...

    Pour l'implication qui est:

    un endomorphisme de (E,N) est continu il est continu en 0 .
    Je suis d'accord c'est évident... mais pour l'implication réciproque je trouve ça beaucoup plus complexe ...

    D'avance merci pour votre aide .

    -----

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  4. #2
    Coincoin

    Re : Endomorphisme et continuité dans un EVN

    Salut,
    Par linéarité, tu ne peux pas ramener ton point en 0 ?
    Encore une victoire de Canard !

  5. #3
    henri IV

    Re : Endomorphisme et continuité dans un EVN

    Oui sans doute mais en fait je ne voie pas trop comment faire, pouvez vous m'éclairer sur ce sujet..???

  6. #4
    rvz

    Re : Endomorphisme et continuité dans un EVN

    Salut,

    Pour la continuité tu dois regarder si ||L(x+h) - L(x)|| tend vers 0 quand h tend vers 0.
    Eh bien il suffit de remarquer que par linéarité,
    L(x+h)-L(x) = L(h).
    Donc ca revient à se demander si || L(h)|| tend vers 0 quand h tend vers 0, ce qui est précisément la définition de la continuité en zéro.

    __
    rvz

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  8. #5
    henri IV

    Re : Endomorphisme et continuité dans un EVN

    Je suis bien d'accord pour cette premiére implication mais c'est celle que je considérait comme assez evidente, en fait je bloque sur l'implication réciproque qui est:
    un endomorphisme de (E,N) est continuen 0
    il est continu en tout points de E .

    Si vous avez des idées pour démontrer ceci, je suis preneur. Encore merci.

  9. #6
    Coincoin

    Re : Endomorphisme et continuité dans un EVN

    Relis ce que Rvz a dit...
    Encore une victoire de Canard !

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  11. #7
    henri IV

    Re : Endomorphisme et continuité dans un EVN

    Est ce que quelque chose du type suivant peut convenir?:

    Posons f un endomorphisme de (E,N).
    f continu <=> <=>__________Ainsi en posant , on a la definition de la continuité en 0:
    <=>_________

    Encore merci.

  12. #8
    GrisBleu

    Re : Endomorphisme et continuité dans un EVN

    Salut

    c est en gros ca. Mais ce que dit rvz suffit
    ++

  13. #9
    henri IV

    Re : Endomorphisme et continuité dans un EVN

    J'ai encore une petite question à vous soumettre:

    Comment montrer qu'un endomorphisme de (E,N) est continu si etseulement si il est borné sur la boule unité fermée de centre 0 et de rayon 1...?

    Encore MERCI pour votre aide.

  14. #10
    homotopie

    Re : Endomorphisme et continuité dans un EVN

    bonjour,
    borné=>continue en 0 (on vient de voir que cela suffisait)
    en gros l'image de toute boule est donc borné avec un majorant (le minorant... ) d'autant plus petit que le diamètre est petit. Il ne reste qu'à écrire cette idée en utilisant la linéarité et une astuce type x=N(x).(x/N(x))

    continue en 0=> borné
    par contraposée ça marche bien.
    Construire une suite (yn) convergeant vers 0 sans que f(yn) ne converge vers 0 n'est pas très loin de construire une suite (xn) bornée sans que f(xn) le soit.

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