Endomorphisme et continuité dans un EVN

[invite23d4d995]

Bonjour,
Est ce que quelqu'un pourrait m'expliquer pourquoi un endomorphisme de (E,N) (espace vectoriel normé de dimension quelconque) est continu si et seulement si il est continu en 0 ...

Pour l'implication qui est:

un endomorphisme de (E,N) est continu il est continu en 0 .
Je suis d'accord c'est évident... mais pour l'implication réciproque je trouve ça beaucoup plus complexe ...

D'avance merci pour votre aide .
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[invite88ef51f0]

Salut,
Par linéarité, tu ne peux pas ramener ton point en 0 ?

[invite23d4d995]

Oui sans doute mais en fait je ne voie pas trop comment faire, pouvez vous m'éclairer sur ce sujet..???

[invite6b1e2c2e]

Salut,

Pour la continuité tu dois regarder si ||L(x+h) - L(x)|| tend vers 0 quand h tend vers 0.
Eh bien il suffit de remarquer que par linéarité,
L(x+h)-L(x) = L(h).
Donc ca revient à se demander si || L(h)|| tend vers 0 quand h tend vers 0, ce qui est précisément la définition de la continuité en zéro.

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rvz

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite23d4d995]

Je suis bien d'accord pour cette premiére implication mais c'est celle que je considérait comme assez evidente, en fait je bloque sur l'implication réciproque qui est:
un endomorphisme de (E,N) est continuen 0
il est continu en tout points de E .

Si vous avez des idées pour démontrer ceci, je suis preneur. Encore merci.

[invite88ef51f0]

Relis ce que Rvz a dit...

[invite23d4d995]

Est ce que quelque chose du type suivant peut convenir?:

Posons f un endomorphisme de (E,N).
f continu <=> <=>__________Ainsi en posant , on a la definition de la continuité en 0:
<=>_________

Encore merci.

[GrisBleu]

Salut

c est en gros ca. Mais ce que dit rvz suffit
++

[invite23d4d995]

J'ai encore une petite question à vous soumettre:

Comment montrer qu'un endomorphisme de (E,N) est continu si etseulement si il est borné sur la boule unité fermée de centre 0 et de rayon 1...?

Encore MERCI pour votre aide.

[invite35452583]

bonjour,
borné=>continue en 0 (on vient de voir que cela suffisait)
en gros l'image de toute boule est donc borné avec un majorant (le minorant... ) d'autant plus petit que le diamètre est petit. Il ne reste qu'à écrire cette idée en utilisant la linéarité et une astuce type x=N(x).(x/N(x))

continue en 0=> borné
par contraposée ça marche bien.
Construire une suite (yn) convergeant vers 0 sans que f(yn) ne converge vers 0 n'est pas très loin de construire une suite (xn) bornée sans que f(xn) le soit.