PCSI, équa diff et fonctions réciproques

[invitedf1fac06]

Bonjour ! voilà, j'ai un soucis pour résoudre une équation différentielle.

On a pour tout x appartenant à ]-1;1[ l'équation différentielle :

(E) : (1-x²)y"-xy'+4y= Arccos(x)

et à toute solution y de (E) on associe la fonction z définie par :
pour tout x appartenant à ]-1;1[,
z(t)=y(cos(t))

Il faut montrer que y est est une solution de (E) si et seulement si sa fonction z associée vérifie une équation différentielle linéaire du second ordre à coefficients constants que l'on notera (E').

Je pense qu'il faut exprimer y(t) en fonction de z, et remplacer ensuite dans (E) pour trouver (E').
Seulement je ne vois pas comment exprimer y(t) en fonction de z, puisque z est la composée de deux fonctions... peut-on extraire une des deux fonctions ? je suppose qu'on doit utiliser Arccos, mais je ne comprend pas comment l'introduire...
Si quelqu'un a une idée, cela m'aiderait...
Merci d'avance !
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[invite4b9cdbca]

Eventuellement, tu as z = y°cos
En composant à droite des deux cotés par Arccos, ce qui est légitime vu que cos°Arccos = Id sur ]-1 ; 1[
Tu as y = z°Arccos

Néanmoins, tu écris :
"pour tout x appartenant à ]-1;1[,
z(t)=y(cos(t))"

qu'est ce que t ? Qu'est ce que x ?
Et... y°cos définie sur ]-1 ; 1[ je veux bien, mais ça ressemble à rien ton truc. Ce serait pas mieux sur ]0 ; pi[ ou un intervalle semblable?

[invitedf1fac06]

Merci pour la composition à droite, je ne pensais pas que j'avais le droit de faire ça.

Quant à l'intervalle, j'ai recopié l'énoncé mot à mot. Moi aussi ça ne me semble pas logique. A mon avis, il s'agit de résoudre l'équation différentielle (E) qui contient une variable x. y étant solution de (E), y est définie pour t appartenant à ]0;Pi[ et donc on a cos(t) appartenant à ]-1;1[.
Il se pourrait que le prof se soit trompé dans l'énoncé en donnant :
pour tout x appartenant à ]-1;1[, z(t)=y(cos(t)).
puisque cette équation ne fait pas intervenir la variable x.

[ericcc]

Non ton prof ne s'est pas trompé. Essaye de dériver z par rapport à t, tu vas trouver des choses intéresantes.

[A voir en vidéo sur Futura]

[ericcc]

J'ajoute que puisque x appartient à ]-1,1[, on peut légitimement poser x=cos(t).

[invitedf1fac06]

J'ajoute que puisque x appartient à ]-1,1[, on peut légitimement poser x=cos(t).

je suis d'accord. Par contre je ne vois pas ce qu'il faut trouver si je dérive z par rapport à t.
J'ai z'(t) = -y'(cos(t))*sin(t)

et z"(t) = y"(cos(t))*sin²(t)-y'(cos(t))*cos(t)
= y"(cos(t))*(1-cos²(t)) - y'(cos(t))*cos(t)

si on a x=cos(t), alors

z"(Arccos(x)) = y"(x)*(1-x²)-y'(x)*x

(par contre, je ne vois pas quoi faire du z'(t), puisqu'il y a un sinus...)


D'autre part j'ai y(t)=z(Arccos(t)),

y'(t)=z'(Arccos(t))* (-1/racine(1-t²))

et
y"(t) = z"(Arccos(t))* (-1/racine(1-t²))²
- z'(Arccos(t))* (1/racine(1-t²)) * ((1/racine(racine(1-t²))*(1/(1-t²)))


je ne pense pas que ça soit la bonne solution, c'est beaucoup trop compliqué et en remplaçant dans (E), ça ne donne rien d'interressant. Donc je me suis trompée en dérivant mais je ne vois pas où...Merci pour votre aide.

[ericcc]

Tu y es presque, vois tu que l'équation (E) se simplifie en remplaçant x par cos(t) et y'' par z""+xy'

[invitedf1fac06]

euhhh
je comprend pas pourquoi il faut remplacer y" par z"+xy' ... parce que y(t)=z(Arccos(t))...ça me laisse perplexe, j'aimerai bien que tu m'explique ton raisonnement... Merci !

[ericcc]

Excuse moi j'ai fait une faute de frappe il fallait lire
(1-x²)y"=z"+xy'

Regarde ce que tu as trouvé :

J'ai z'(t) = -y'(cos(t))*sin(t)

et z"(t) = y"(cos(t))*sin²(t)-y'(cos(t))*cos(t)
= y"(cos(t))*(1-cos²(t)) - y'(cos(t))*cos(t)

.

Tu as bien écrit z"=(1-x²)y"-xy'

Donc (E) se simplifie grandement, non ?

[invitedf1fac06]

ah oui en effet ! je vais essayer de simplifier tout ça ce soir... merci de ton aide ericcc.

[invitedf1fac06]

Bonjour ! voilà, j'ai encore un problème avec cet exercice...
J'ai donc bien z"=(1-x²)y"-xy'
d'où (1-x²)y"=z²+xy'

En remplaçant dans (E), j'ai donc :
(E') : z"+xy'-xy'+4y=Arccos(x)

donc les xy' se simplifient, et Arccos(x)=t puisque
cos(t)=x, et y=z(Arccos(t))
on a donc
(E') : z"+4z(Arccos(t))=t

on me demande de résoudre cette équation...seulement je ne sais pas si je peux utiliser les méthodes habituelles vu que j'ai z(Arccos(t))... à moins que je ne me sois trompée auquel cas je ne vois pas mon erreur...si quelqu'un à une idée, merci d'avance !

[invitedf1fac06]

Désolée, je relance le sujet, mais je ne sais vraiment pas comment résoudre cette équation, est-ce que quelqu'un sait et peut m'aider ? merci !

[invite4b9cdbca]

une question, quand tu écris :
(E') : z"+4z(Arccos(t))=t

tu veux dire
(E') : z"(t)+4z(Arccos(t))=t
ou
(E') : z"(x)+4z(Arccos(t))=t

?

[invitedf1fac06]

Ben...justement...je n'en sais rien ! (c'est pour ça que je n'ai rien mis d'ailleurs !)
Il me semble que c'est z"(t) mais je n'en suis pas sure. Pourtant dès le début on a z(t), donc ça serai plus logique que ça soit z"(t) pour (E'). Désolée, je suis un peu embrouillée, je patauge là ! surtout que ce
z(Arccos(t)) me laisse perplexe...

[invite4b9cdbca]

Ce qui m'embete avec ton (E') : z"+4z(Arccos(t))=t
C'est que je n'arrive pus à définir l'intervalle dans lequel ton t se ballade...
]-1;1[ ? ]0;Pi[ ?
Je ne suis pas sur, mais il y a de fortes chances que cete éqution ne soit pas bonne. Je vais y rejete un coup d'oeil, mais je te propose de refaire les calculs à partir de là, sans oublier les variables des fonctions :

J'ai z'(t) = -y'(cos(t))*sin(t)

et z"(t) = y"(cos(t))*sin²(t)-y'(cos(t))*cos(t)
= y"(cos(t))*(1-cos²(t)) - y'(cos(t))*cos(t)

si on a x=cos(t), alors

z"(Arccos(x)) = y"(x)*(1-x²)-y'(x)*x

(par contre, je ne vois pas quoi faire du z'(t), puisqu'il y a un sinus...)


D'autre part j'ai y(t)=z(Arccos(t)),

y'(t)=z'(Arccos(t))* (-1/racine(1-t²))

et
y"(t) = z"(Arccos(t))* (-1/racine(1-t²))²
- z'(Arccos(t))* (1/racine(1-t²)) * ((1/racine(racine(1-t²))*(1/(1-t²)))

A bientôt.

[invitedf1fac06]

Ok, je viens de le faire et j'obtiens :
z'(t) = -y'(cos(t))*sin(t)

et z"(t) = y"(cos(t))*sin²(t)-y'(cos(t))*cos(t)
= y"(cos(t))*(1-cos²(t)) - y'(cos(t))*cos(t)

or x=cos(t), donc

z"(t) = y"(x)*(1-x²)-y'(x)*x

d'où (1-x²)y"(x)=z"(t)+xy'(x)

et
(E) : (1-x²)y"(x)-xy'(x)+4y(x)=Arccos(x)

en remplaçant dans (E), j'ai :

(E') : z"(t)+xy'(x)-xy'(x)+4y(x)=Arccos(x)

(E') : z"(t)+4y(x)=t

or y(t)=z(Arccos(t)) donc y(x)=z(Arccos(x))

[J'ai le droit d'écrire ça ? ça m'arrangerai car dans ce cas je peux simplifier mon équation et je n'ai plus ce z(Arccos(t)) qui me gene tant, de plus ça me parait plus juste que d'écrire y(x)=z(Arccos(t)) alors qu'au début de l'exercice, je montre que y(t)=z(Arccos(t))...]
donc y(x)=z(t)

donc (E') : z"(t)+4z(t)=t

si tout ce que je viens d'écrire est juste, je pourrai résoudre l'équation (E') puis (E)...

[invite4b9cdbca]

ça a l'air bon.
Juste une remarque :
z(t) = y(cos(t)) ne veut pas dire z(arccos(t)) = y(t)
Je te laisse méditer là dessus, car ta variable t ne décrit ps la bonne intervalle.
N'oublie pas que quand tu fais un changement de variable, tu compose par une application qui transforme t et x.
z(t) = y(cos(t))
en posant x= cos t
Te donne directement z(arccos x) = y(x)
Pense bien au fait que x appartient à ]-1;1[, intervalle sur lequel arccos est défini et dérivable alors que t décrit un truc du genre ]0 ; Pi[, intevalle où cos est de classe 1.

[invitedf1fac06]

ok je vois le problème...mais de toute façon, t n'est pas défini dans l'énoncé, je pense que je peux donc le définir comme je veux. En plus, il est clair que l'équation (E) n'est pas l'équation (E'), et le fait de résoudre (E') donne la solution de (E), donc aucun amalgamme ne peut être fait entre les deux équations...

Merci pour votre aide à tous !