Théorème sur les Fonctions égale à leur Réciproques

invite3c81b085 · 29/01/2006, 19h50

Bonjour,

J'ai trouvé une conjecture que j'ai démontrée également, d'où l'appelation théorème.

Définition: $\text{[math]}$ est une fonction qui est égale à sa réciproque si la condition suivante est remplie: $\text{[math]}$ .

Le théorème est le suivant:
Si $\text{[math]}$ est une fonction égale à sa réciproque, alors,
$\text{[math]}$ est encore une fonction égale à sa réciproque

Démonstration du théorème:
Il faut que la composée de la fonction obtenue soit égale à $\text{[math]}$ , donc, calculons la composée:
$\text{[math]}$
Puisque $\text{[math]}$ , l'expression revient à:
$\text{[math]}$
Vu que $\text{[math]}$ est une fonction égale à sa réciproque, elle vérifie cela: $\text{[math]}$ , donc, l'expression se simplifie encore: $\text{[math]}$
Puisque $\text{[math]}$ , le théorème est démontré

.
$\text{[math]}$
Par ce théorème, je peux conclure qu'il existe une infinité de fonctions égales à leur réciproque

J'ai distingué trois type de fonctions:
1) Le type 1: Les fonctions qui vérifient la condition pour tout $\text{[math]}$ (graphiquement: symétrique par rapport à $\text{[math]}$ )
2) Le type 2: Les fonctions qui vérifient la condition pour $\text{[math]}$ (resp. $\text{[math]}$ ) et $\text{[math]}$ pour $\text{[math]}$ (resp. $\text{[math]}$ )
(graphiquement: symétrique par rapport à $\text{[math]}$ (resp. $\text{[math]}$ ))
3) Le type 3: Les fonctions qui vérifient la condition qu'à certains endroits de leur domaine

Application du théorème:
Prenons une fonction qui est égale à sa réciproque: $\text{[math]}$ . Vous pouvez vérifier, c'est correct

Note: elle est du type 1.
Prenons par exemple $\text{[math]}$ , donc, $\text{[math]}$
La fonction du théorème est la suivante: $\text{[math]}$ , faisons déjà $\text{[math]}$ , cela vaut: $\text{[math]}$ appliquons $\text{[math]}$ à la fonction obtenue: $\text{[math]}$ , ce qui bien évidemment une fonction égale à sa réciproque (de type deux, cette fois), c'est l'équation d'un cercle et est symétrique par rapport à $\text{[math]}$ .

Bien sûr, on peut reprendre la fonction obtenue par le théorème et appliquer une nouvelle fois le théorème avec une nouvelle fonction $\text{[math]}$ , et ainsi, on obtiendra des fonctions avec une expression analytique horrible mais qui correcpond à la demande

Voilà.

Merci pour votre lecture de cet article indigeste, je consens

.

**invite4793db90** · 29/01/2006, 19h58

Salut,

il y a plus simple: par définition, la fonction réciproque g d'une fonction f (quand elle existe) vérifie fog=gof=id...

Je salue néanmoins ton opiniâtreté.

invitedf667161 · 29/01/2006, 20h00

Aie je crois que je ne comprends pas ce que veut dire la notation g <- f(g(x)) ...

Ca a l'air intéressant, tu peux expliquer ?

**invite4793db90** · 29/01/2006, 20h03

Envoyé par martini_bird

Salut,

il y a plus simple: par définition, la fonction réciproque g d'une fonction f (quand elle existe) vérifie fog=gof=id...

Je salue néanmoins ton opiniâtreté.

Oups, désolé, j'ai lu trop vite: j'ai cru que ton théorème était la définition...

A voir en vidéo sur Futura · Aujourd'hui

invite6b1e2c2e · 29/01/2006, 20h17

Euh ...
Est ce que par hasard il y aurait des subtiles hypothèses qui m'auraient échappé sur les propriétés de g (admet une réciproque par exemple ?) ?
Sinon, je suis d'accord.
Si g admet une réciproque h, et si f est son autoréciproque
f°f = Id
g°h=h°g= Id
Alors la fonction j= h°f°g est son autoréciproque.
j°j= (h°f°g)°(h&#176 ;f°g) = (h°f)°(g°h)&#17 6;(f°g) =h°f°f°g=h&#176 ;(f°f)°g= h°g = Id
C'est quand même plus simple avec ce formalisme.

Ah oui, au fait, ça me rappelle un truc.
Montrer qu'il n'existe pas de fonctions continues f telles que f°f = -Id

__
rvz

**Bleyblue** · 29/01/2006, 20h48

Tiens il existe des fonction qui n'admettent pas de réciproque ?

Ou bien alors c'est comme les primitives ? Toute fonction continue sur un intervalle admet une réciproque même si elle n'est pas exprimable ...

merci

EDIT : J'aurais du préciser : Continue, et bijective surtout

invitedf667161 · 29/01/2006, 20h51

Envoyé par Bleyblue

Tiens il existe des fonction qui n'admettent pas de réciproque ?

Ou bien alors c'est comme les primitives ? Toute fonction continue sur un intervalle admet une réciproque même si elle n'est pas exprimable ...

merci

Les fonctions non bijectives n'ont pas de réciproques !

Cependant par le théorème d'inversion locale, n'importe quelle fonction dont la différentielle (ça devrait te rappeler quelque chose) est inversible en un point admet une réciproque localement autour de ce point.

invite3c81b085 · 30/01/2006, 12h17

Envoyé par GuYem

Aie je crois que je ne comprends pas ce que veut dire la notation g <- f(g(x)) ...

Ca a l'air intéressant, tu peux expliquer ?

$\text{[math]}$ est tout simplement la notation pour désigner la réciproque de $\text{[math]}$

Bien à toi

invite3c81b085 · 30/01/2006, 12h21

Envoyé par rvz

Je suis d'accord.
Si g admet une réciproque h, et si f est son autoréciproque
f°f = Id
g°h=h°g= Id
Alors la fonction j= h°f°g est son autoréciproque.
j°j= (h°f°g)°(h°f°g) = (h°f)°(g°h)°(f°g) =h°f°f°g=h°(f°f)°g= h°g = Id
C'est quand même plus simple avec ce formalisme.

Merci

. Ta démonstration est la même que la mienne mais avec d'autres notations. Bien à toi

invite52c52005 · 30/01/2006, 15h37

Envoyé par Herbiti

$\text{[math]}$ est tout simplement la notation pour désigner la réciproque de $\text{[math]}$

Bien à toi

Bonjour,

Je ne connaissais pas cette notation. D'où sort-elle ?
Moi je note la fonction réciproque de la fonction $\text{[math]}$ avec $\text{[math]}$ .

invite6b1e2c2e · 30/01/2006, 16h05

Envoyé par Herbiti

Merci

. Ta démonstration est la même que la mienne mais avec
d'autres notations. Bien à toi

Oui, mais elle fait beaucoup moins peur !

__
rvz

invite986312212 · 31/01/2006, 12h53

salut,

ton résultat est plus général et est relié aux notions d'automorphisme intérieur et de conjugaison en théorie des groupes. D'ailleurs, est-ce que ce n'est pas à la suite de calculs comme celui-là que s'est dégagée la notion de groupe?

invite6b1e2c2e · 31/01/2006, 16h26

Tu veux sans doute dire de sous groupe distingués.
Les groupes ont du être introduit pour l'étude des congruences dans Z, non ?
Et pour les groupes distingués, je ne pense pas que ça a été introduit comme ça, mais plutot de la façon très naturelle suivante :

Si G est un groupe, et H un sous groupe, alors G/H est un ensemble. G/H est muni de la structure de groupe induite par G ssi H est distingué dans G.

__
rvz

**invite4793db90** · 31/01/2006, 19h03

Salut,

Envoyé par rvz

Les groupes ont du être introduit pour l'étude des congruences dans Z, non ?

Non non. L'étude des groupes commence avec les groupes de permutation (travaux de Lagrange puis de Galois sur les groupes de permutations de racines de polynômes). Les groupes de transformation en géométrie ont joué un peu plus tard un grand rôle dans l'axiomatisation moderne (cf. Klein et le programme d'Erlangen).
Si l'on voit les congruences depuis au moins les Disquisitiones arithmeticae de Gauss, il faudra attendre pas loin d'un siècle pour vraiment les rattacher à la structure d'anneau...

Cordialement.

invite3c81b085 · 01/02/2006, 15h13

Envoyé par nissart7831

Bonjour,

Je ne connaissais pas cette notation. D'où sort-elle ?
Moi je note la fonction réciproque de la fonction $\text{[math]}$ avec $\text{[math]}$ .

Elle sort de mon cours de secondaires... Je la préfère à l'exposant négatif dans le sens où l'exposant négatif peut être $\text{[math]}$ ...

invitec314d025 · 02/02/2006, 09h12

Envoyé par Herbiti

Elle sort de mon cours de secondaires... Je la préfère à l'exposant négatif dans le sens où l'exposant négatif peut être $\text{[math]}$ ...

Généralement le contexte ne prête pas à confusion, ou alors on le dit explicitement. En plus dans beaucoup de domaines des mathématiques on note la composition de fonction comme un produit (en algèbre linéaire surtout), et donc c'est cohérent avec l'exposant négatif.

Théorème sur les Fonctions égale à leur Réciproques

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