Bonjour,
J'ai trouvé une conjecture que j'ai démontrée également, d'où l'appelation théorème.
Définition:est une fonction qui est égale à sa réciproque si la condition suivante est remplie:
.
Le théorème est le suivant:
Siest une fonction égale à sa réciproque, alors,
est encore une fonction égale à sa réciproque
Démonstration du théorème:
Il faut que la composée de la fonction obtenue soit égale à, donc, calculons la composée:
Puisque, l'expression revient à:
Vu queest une fonction égale à sa réciproque, elle vérifie cela:
, donc, l'expression se simplifie encore:
Puisque, le théorème est démontré
.
Par ce théorème, je peux conclure qu'il existe une infinité de fonctions égales à leur réciproque
J'ai distingué trois type de fonctions:
1) Le type 1: Les fonctions qui vérifient la condition pour tout(graphiquement: symétrique par rapport à
)
2) Le type 2: Les fonctions qui vérifient la condition pour(resp.
) et
pour
(resp.
)
(graphiquement: symétrique par rapport à(resp.
))
3) Le type 3: Les fonctions qui vérifient la condition qu'à certains endroits de leur domaine
Application du théorème:
Prenons une fonction qui est égale à sa réciproque:. Vous pouvez vérifier, c'est correct
Note: elle est du type 1.
Prenons par exemple, donc,
La fonction du théorème est la suivante:, faisons déjà
, cela vaut:
appliquons
à la fonction obtenue:
, ce qui bien évidemment une fonction égale à sa réciproque (de type deux, cette fois), c'est l'équation d'un cercle et est symétrique par rapport à
.
Bien sûr, on peut reprendre la fonction obtenue par le théorème et appliquer une nouvelle fois le théorème avec une nouvelle fonction, et ainsi, on obtiendra des fonctions avec une expression analytique horrible mais qui correcpond à la demande
Voilà.
Merci pour votre lecture de cet article indigeste, je consens.
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