Théorème sur les Fonctions égale à leur Réciproques

[invite3c81b085]

Bonjour,

J'ai trouvé une conjecture que j'ai démontrée également, d'où l'appelation théorème.

Définition: est une fonction qui est égale à sa réciproque si la condition suivante est remplie: .

Le théorème est le suivant:
Si est une fonction égale à sa réciproque, alors,
est encore une fonction égale à sa réciproque

Démonstration du théorème:
Il faut que la composée de la fonction obtenue soit égale à , donc, calculons la composée:

Puisque , l'expression revient à:

Vu que est une fonction égale à sa réciproque, elle vérifie cela: , donc, l'expression se simplifie encore:
Puisque , le théorème est démontré .

Par ce théorème, je peux conclure qu'il existe une infinité de fonctions égales à leur réciproque


J'ai distingué trois type de fonctions:
1) Le type 1: Les fonctions qui vérifient la condition pour tout (graphiquement: symétrique par rapport à )
2) Le type 2: Les fonctions qui vérifient la condition pour (resp. ) et pour (resp. )
(graphiquement: symétrique par rapport à (resp. ))
3) Le type 3: Les fonctions qui vérifient la condition qu'à certains endroits de leur domaine

Application du théorème:
Prenons une fonction qui est égale à sa réciproque: . Vous pouvez vérifier, c'est correct Note: elle est du type 1.
Prenons par exemple , donc,
La fonction du théorème est la suivante: , faisons déjà , cela vaut: appliquons à la fonction obtenue: , ce qui bien évidemment une fonction égale à sa réciproque (de type deux, cette fois), c'est l'équation d'un cercle et est symétrique par rapport à .

Bien sûr, on peut reprendre la fonction obtenue par le théorème et appliquer une nouvelle fois le théorème avec une nouvelle fonction , et ainsi, on obtiendra des fonctions avec une expression analytique horrible mais qui correcpond à la demande

Voilà.

Merci pour votre lecture de cet article indigeste, je consens .
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[martini_bird]

Salut,

il y a plus simple: par définition, la fonction réciproque g d'une fonction f (quand elle existe) vérifie fog=gof=id...

Je salue néanmoins ton opiniâtreté.

[GuYem]

Aie je crois que je ne comprends pas ce que veut dire la notation g <- f(g(x)) ...

Ca a l'air int&#233;ressant, tu peux expliquer ?

[martini_bird]

Salut,

il y a plus simple: par d&#233;finition, la fonction r&#233;ciproque g d'une fonction f (quand elle existe) v&#233;rifie fog=gof=id...

Je salue n&#233;anmoins ton opini&#226;tret&#233;.

Oups, d&#233;sol&#233;, j'ai lu trop vite: j'ai cru que ton th&#233;or&#232;me &#233;tait la d&#233;finition...

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite6b1e2c2e]

Euh ...
Est ce que par hasard il y aurait des subtiles hypoth&#232;ses qui m'auraient &#233;chapp&#233; sur les propri&#233;t&#233;s de g (admet une r&#233;ciproque par exemple ?) ?
Sinon, je suis d'accord.
Si g admet une r&#233;ciproque h, et si f est son autor&#233;ciproque
f&#176;f = Id
g&#176;h=h&#176;g= Id
Alors la fonction j= h&#176;f&#176;g est son autor&#233;ciproque.
j&#176;j= (h&#176;f&#176;g)&#176;(h&#176 ;f&#176;g) = (h&#176;f)&#176;(g&#176;h)&#17 6;(f&#176;g) =h&#176;f&#176;f&#176;g=h&#176 ;(f&#176;f)&#176;g= h&#176;g = Id
C'est quand m&#234;me plus simple avec ce formalisme.

Ah oui, au fait, &#231;a me rappelle un truc.
Montrer qu'il n'existe pas de fonctions continues f telles que f&#176;f = -Id

__
rvz

[Bleyblue]

Tiens il existe des fonction qui n'admettent pas de r&#233;ciproque ?

Ou bien alors c'est comme les primitives ? Toute fonction continue sur un intervalle admet une r&#233;ciproque m&#234;me si elle n'est pas exprimable ...

merci

EDIT : J'aurais du pr&#233;ciser : Continue, et bijective surtout

[GuYem]

Tiens il existe des fonction qui n'admettent pas de réciproque ?

Ou bien alors c'est comme les primitives ? Toute fonction continue sur un intervalle admet une réciproque même si elle n'est pas exprimable ...

merci

Les fonctions non bijectives n'ont pas de réciproques !

Cependant par le théorème d'inversion locale, n'importe quelle fonction dont la différentielle (ça devrait te rappeler quelque chose) est inversible en un point admet une réciproque localement autour de ce point.

[invite3c81b085]

Aie je crois que je ne comprends pas ce que veut dire la notation g <- f(g(x)) ...

Ca a l'air int&#233;ressant, tu peux expliquer ?

est tout simplement la notation pour d&#233;signer la r&#233;ciproque de

Bien &#224; toi

[invite3c81b085]

Je suis d'accord.
Si g admet une réciproque h, et si f est son autoréciproque
f°f = Id
g°h=h°g= Id
Alors la fonction j= h°f°g est son autoréciproque.
j°j= (h°f°g)°(h°f°g) = (h°f)°(g°h)°(f°g) =h°f°f°g=h°(f°f)°g= h°g = Id
C'est quand même plus simple avec ce formalisme.

Merci . Ta démonstration est la même que la mienne mais avec d'autres notations. Bien à toi

[nissart7831]

est tout simplement la notation pour désigner la réciproque de

Bien à toi

Bonjour,

Je ne connaissais pas cette notation. D'où sort-elle ?
Moi je note la fonction réciproque de la fonction avec .

[invite6b1e2c2e]

Merci . Ta démonstration est la même que la mienne mais avec
d'autres notations. Bien à toi

Oui, mais elle fait beaucoup moins peur !

__
rvz

[invite986312212]

salut,

ton résultat est plus général et est relié aux notions d'automorphisme intérieur et de conjugaison en théorie des groupes. D'ailleurs, est-ce que ce n'est pas à la suite de calculs comme celui-là que s'est dégagée la notion de groupe?

[invite6b1e2c2e]

Tu veux sans doute dire de sous groupe distingu&#233;s.
Les groupes ont du &#234;tre introduit pour l'&#233;tude des congruences dans Z, non ?
Et pour les groupes distingu&#233;s, je ne pense pas que &#231;a a &#233;t&#233; introduit comme &#231;a, mais plutot de la fa&#231;on tr&#232;s naturelle suivante :

Si G est un groupe, et H un sous groupe, alors G/H est un ensemble. G/H est muni de la structure de groupe induite par G ssi H est distingu&#233; dans G.

__
rvz

[martini_bird]

Salut,

Les groupes ont du &#234;tre introduit pour l'&#233;tude des congruences dans Z, non ?

Non non. L'&#233;tude des groupes commence avec les groupes de permutation (travaux de Lagrange puis de Galois sur les groupes de permutations de racines de polyn&#244;mes). Les groupes de transformation en g&#233;om&#233;trie ont jou&#233; un peu plus tard un grand r&#244;le dans l'axiomatisation moderne (cf. Klein et le programme d'Erlangen).
Si l'on voit les congruences depuis au moins les Disquisitiones arithmeticae de Gauss, il faudra attendre pas loin d'un si&#232;cle pour vraiment les rattacher &#224; la structure d'anneau...

Cordialement.

[invite3c81b085]

Bonjour,

Je ne connaissais pas cette notation. D'o&#249; sort-elle ?
Moi je note la fonction r&#233;ciproque de la fonction avec .

Elle sort de mon cours de secondaires... Je la pr&#233;f&#232;re &#224; l'exposant n&#233;gatif dans le sens o&#249; l'exposant n&#233;gatif peut &#234;tre ...

[matthias]

Elle sort de mon cours de secondaires... Je la préfère à l'exposant négatif dans le sens où l'exposant négatif peut être ...

Généralement le contexte ne prête pas à confusion, ou alors on le dit explicitement. En plus dans beaucoup de domaines des mathématiques on note la composition de fonction comme un produit (en algèbre linéaire surtout), et donc c'est cohérent avec l'exposant négatif.