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Théorème sur les Fonctions égale à leur Réciproques



  1. #1
    Herbiti

    Théorème sur les Fonctions égale à leur Réciproques


    ------

    Bonjour,

    J'ai trouvé une conjecture que j'ai démontrée également, d'où l'appelation théorème.

    Définition: est une fonction qui est égale à sa réciproque si la condition suivante est remplie: .

    Le théorème est le suivant:
    Si est une fonction égale à sa réciproque, alors,
    est encore une fonction égale à sa réciproque


    Démonstration du théorème:
    Il faut que la composée de la fonction obtenue soit égale à , donc, calculons la composée:

    Puisque , l'expression revient à:

    Vu que est une fonction égale à sa réciproque, elle vérifie cela: , donc, l'expression se simplifie encore:
    Puisque , le théorème est démontré .

    Par ce théorème, je peux conclure qu'il existe une infinité de fonctions égales à leur réciproque


    J'ai distingué trois type de fonctions:
    1) Le type 1: Les fonctions qui vérifient la condition pour tout (graphiquement: symétrique par rapport à )
    2) Le type 2: Les fonctions qui vérifient la condition pour (resp. ) et pour (resp. )
    (graphiquement: symétrique par rapport à (resp. ))
    3) Le type 3: Les fonctions qui vérifient la condition qu'à certains endroits de leur domaine

    Application du théorème:
    Prenons une fonction qui est égale à sa réciproque: . Vous pouvez vérifier, c'est correct Note: elle est du type 1.
    Prenons par exemple , donc,
    La fonction du théorème est la suivante: , faisons déjà , cela vaut: appliquons à la fonction obtenue: , ce qui bien évidemment une fonction égale à sa réciproque (de type deux, cette fois), c'est l'équation d'un cercle et est symétrique par rapport à .

    Bien sûr, on peut reprendre la fonction obtenue par le théorème et appliquer une nouvelle fois le théorème avec une nouvelle fonction , et ainsi, on obtiendra des fonctions avec une expression analytique horrible mais qui correcpond à la demande

    Voilà.

    Merci pour votre lecture de cet article indigeste, je consens .

    -----
    Dernière modification par Herbiti ; 29/01/2006 à 18h53.
    Herbiti

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  3. #2
    martini_bird

    Re : Théorème sur les Fonctions égale à leur Réciproques

    Salut,

    il y a plus simple: par définition, la fonction réciproque g d'une fonction f (quand elle existe) vérifie fog=gof=id...

    Je salue néanmoins ton opiniâtreté.

  4. #3
    GuYem

    Re : Théorème sur les Fonctions égale à leur Réciproques

    Aie je crois que je ne comprends pas ce que veut dire la notation g <- f(g(x)) ...

    Ca a l'air int&#233;ressant, tu peux expliquer ?
    Bravo jolie Ln, tu as trouvé : l'armée de l'air c'est là où on peut te tenir par la main.

  5. #4
    martini_bird

    Re : Théorème sur les Fonctions égale à leur Réciproques

    Citation Envoyé par martini_bird
    Salut,

    il y a plus simple: par d&#233;finition, la fonction r&#233;ciproque g d'une fonction f (quand elle existe) v&#233;rifie fog=gof=id...

    Je salue n&#233;anmoins ton opini&#226;tret&#233;.
    Oups, d&#233;sol&#233;, j'ai lu trop vite: j'ai cru que ton th&#233;or&#232;me &#233;tait la d&#233;finition...

  6. A voir en vidéo sur Futura
  7. #5
    rvz

    Re : Théorème sur les Fonctions égale à leur Réciproques

    Euh ...
    Est ce que par hasard il y aurait des subtiles hypoth&#232;ses qui m'auraient &#233;chapp&#233; sur les propri&#233;t&#233;s de g (admet une r&#233;ciproque par exemple ?) ?
    Sinon, je suis d'accord.
    Si g admet une r&#233;ciproque h, et si f est son autor&#233;ciproque
    f&#176;f = Id
    g&#176;h=h&#176;g= Id
    Alors la fonction j= h&#176;f&#176;g est son autor&#233;ciproque.
    j&#176;j= (h&#176;f&#176;g)&#176;(h&#176 ;f&#176;g) = (h&#176;f)&#176;(g&#176;h)&#17 6;(f&#176;g) =h&#176;f&#176;f&#176;g=h&#176 ;(f&#176;f)&#176;g= h&#176;g = Id
    C'est quand m&#234;me plus simple avec ce formalisme.

    Ah oui, au fait, &#231;a me rappelle un truc.
    Montrer qu'il n'existe pas de fonctions continues f telles que f&#176;f = -Id

    __
    rvz

  8. #6
    Bleyblue

    Re : Théorème sur les Fonctions égale à leur Réciproques

    Tiens il existe des fonction qui n'admettent pas de r&#233;ciproque ?

    Ou bien alors c'est comme les primitives ? Toute fonction continue sur un intervalle admet une r&#233;ciproque m&#234;me si elle n'est pas exprimable ...

    merci

    EDIT : J'aurais du pr&#233;ciser : Continue, et bijective surtout
    Dernière modification par Bleyblue ; 29/01/2006 à 19h52.

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  10. #7
    GuYem

    Re : Théorème sur les Fonctions égale à leur Réciproques

    Citation Envoyé par Bleyblue
    Tiens il existe des fonction qui n'admettent pas de réciproque ?

    Ou bien alors c'est comme les primitives ? Toute fonction continue sur un intervalle admet une réciproque même si elle n'est pas exprimable ...

    merci
    Les fonctions non bijectives n'ont pas de réciproques !

    Cependant par le théorème d'inversion locale, n'importe quelle fonction dont la différentielle (ça devrait te rappeler quelque chose) est inversible en un point admet une réciproque localement autour de ce point.
    Bravo jolie Ln, tu as trouvé : l'armée de l'air c'est là où on peut te tenir par la main.

  11. #8
    Herbiti

    Re : Théorème sur les Fonctions égale à leur Réciproques

    Citation Envoyé par GuYem
    Aie je crois que je ne comprends pas ce que veut dire la notation g <- f(g(x)) ...

    Ca a l'air int&#233;ressant, tu peux expliquer ?
    est tout simplement la notation pour d&#233;signer la r&#233;ciproque de

    Bien &#224; toi
    Herbiti

  12. #9
    Herbiti

    Re : Théorème sur les Fonctions égale à leur Réciproques

    Citation Envoyé par rvz
    Je suis d'accord.
    Si g admet une réciproque h, et si f est son autoréciproque
    f°f = Id
    g°h=h°g= Id
    Alors la fonction j= h°f°g est son autoréciproque.
    j°j= (h°f°g)°(h°f°g) = (h°f)°(g°h)°(f°g) =h°f°f°g=h°(f°f)°g= h°g = Id
    C'est quand même plus simple avec ce formalisme.
    Merci . Ta démonstration est la même que la mienne mais avec d'autres notations. Bien à toi
    Herbiti

  13. #10
    nissart7831

    Re : Théorème sur les Fonctions égale à leur Réciproques

    Citation Envoyé par Herbiti
    est tout simplement la notation pour désigner la réciproque de

    Bien à toi
    Bonjour,

    Je ne connaissais pas cette notation. D'où sort-elle ?
    Moi je note la fonction réciproque de la fonction avec .

  14. #11
    rvz

    Re : Théorème sur les Fonctions égale à leur Réciproques

    Citation Envoyé par Herbiti
    Merci . Ta démonstration est la même que la mienne mais avec
    d'autres notations. Bien à toi
    Oui, mais elle fait beaucoup moins peur !

    __
    rvz

  15. #12
    invite986312212
    Invité

    Re : Théorème sur les Fonctions égale à leur Réciproques

    salut,

    ton résultat est plus général et est relié aux notions d'automorphisme intérieur et de conjugaison en théorie des groupes. D'ailleurs, est-ce que ce n'est pas à la suite de calculs comme celui-là que s'est dégagée la notion de groupe?

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  17. #13
    rvz

    Re : Théorème sur les Fonctions égale à leur Réciproques

    Tu veux sans doute dire de sous groupe distingu&#233;s.
    Les groupes ont du &#234;tre introduit pour l'&#233;tude des congruences dans Z, non ?
    Et pour les groupes distingu&#233;s, je ne pense pas que &#231;a a &#233;t&#233; introduit comme &#231;a, mais plutot de la fa&#231;on tr&#232;s naturelle suivante :

    Si G est un groupe, et H un sous groupe, alors G/H est un ensemble. G/H est muni de la structure de groupe induite par G ssi H est distingu&#233; dans G.

    __
    rvz

  18. #14
    martini_bird

    Re : Théorème sur les Fonctions égale à leur Réciproques

    Salut,

    Citation Envoyé par rvz
    Les groupes ont du &#234;tre introduit pour l'&#233;tude des congruences dans Z, non ?
    Non non. L'&#233;tude des groupes commence avec les groupes de permutation (travaux de Lagrange puis de Galois sur les groupes de permutations de racines de polyn&#244;mes). Les groupes de transformation en g&#233;om&#233;trie ont jou&#233; un peu plus tard un grand r&#244;le dans l'axiomatisation moderne (cf. Klein et le programme d'Erlangen).
    Si l'on voit les congruences depuis au moins les Disquisitiones arithmeticae de Gauss, il faudra attendre pas loin d'un si&#232;cle pour vraiment les rattacher &#224; la structure d'anneau...

    Cordialement.

  19. #15
    Herbiti

    Re : Théorème sur les Fonctions égale à leur Réciproques

    Citation Envoyé par nissart7831
    Bonjour,

    Je ne connaissais pas cette notation. D'o&#249; sort-elle ?
    Moi je note la fonction r&#233;ciproque de la fonction avec .
    Elle sort de mon cours de secondaires... Je la pr&#233;f&#232;re &#224; l'exposant n&#233;gatif dans le sens o&#249; l'exposant n&#233;gatif peut &#234;tre ...
    Herbiti

  20. #16
    matthias

    Re : Théorème sur les Fonctions égale à leur Réciproques

    Citation Envoyé par Herbiti
    Elle sort de mon cours de secondaires... Je la préfère à l'exposant négatif dans le sens où l'exposant négatif peut être ...
    Généralement le contexte ne prête pas à confusion, ou alors on le dit explicitement. En plus dans beaucoup de domaines des mathématiques on note la composition de fonction comme un produit (en algèbre linéaire surtout), et donc c'est cohérent avec l'exposant négatif.

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