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Réciproques de fonctions hyperboliques



  1. #1
    Bleyblue

    Réciproques de fonctions hyperboliques


    ------

    Bonjour,

    Petite curiosité de ma part :
    Est ce quelqu'un sait comment démontrer que :







    Moi je ne vois pas comment faire ... j'ai essayé de demander au prof de math mais il n'a pas voulut m'expliquer (trop dur il parait ...), les math en médecine vous savez ...

    Merci

    -----

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  3. #2
    Jeanpaul

    Re : Réciproques de fonctions hyperboliques

    Ecrire que y = Arg ch(x) est équivalent à dire que x = ch(y) avec y>=0.
    x = ch(y) est équivalent (par définition) à :
    x =(exp(y) + exp(-y))/2
    et si on pose exp(y) = Y, on va arriver à une équation du second degré (je rappelle que exp(-y) = 1/exp(y) )

    Ceci dit, je m'inquiète de voir que des profs de maths trouvent cela trop difficile !

  4. #3
    Bleyblue

    Re : Réciproques de fonctions hyperboliques

    Ceci dit, je m'inquiète de voir que des profs de maths trouvent cela trop difficile !
    C'est à dire qu'il ne faut pas en vouloir au prof .. lui est très bon et il donne cours en faculté des sciences, en licences math etc.
    Il n'y peut pas grand chose si le niveau en médecine n'est pas terrible.

    Mais il n'a pas dis ça comme ça non plus, je lui ai demané pourquoi quand je calculais :


    Je ne tombais pas sur des ln. Mais comme en médecine on ne voit pas les fonctions hyperboliques, on était pas sensé savoir calculer cette primitive. Alors quand je suis venu avec ma question, qui sortait du cadre du cours, il m'a dit "laissez tombez" ...
    Me suis mal exprimé, désolé

    Bon, je vais essayer ta méthode, merci

  5. #4
    Bleyblue

    Re : Réciproques de fonctions hyperboliques

    ah oui et donc après la subsitution je tombe sur :


    ce qui me donne trois solutions dont une est à rejeter à cause su domaine : 0,1 et - 1

    Et donc Y = exp(y) = +/- 1 mais -1 est à rejeté.
    Et donc Y = 0 ?

  6. A voir en vidéo sur Futura
  7. #5
    Jeanpaul

    Re : Réciproques de fonctions hyperboliques

    On reprend :
    y = ArgCh(x) signifie que x = ch(y) avec y>=0 et x>=1
    En posant Y = exp(y), on trouve (désolé, je n'ai pas Latex) :
    2 x = Y + 1/Y
    d'où Y² - 2xY +1 = 0 à résoudre pour l'inconnue Y
    Il y a 2 solutions. En effet, si Y est solution, 1/Y le sera aussi (évident sur 2 x = Y + 1/Y). Il faut garder la solution qui correspond à y>=0, donc Y >=1, soit la plus grande des deux :
    Y = x + sqr(x²-1)
    y = ln (x + sqr(x²-1)) (tu avais fait une inversion dans le premier fil).

    Pour intégrer sqr(1+x²), ce n'est pas jouable si on ne pense pas à poser x = sh(u).
    Bon courage !

  8. #6
    Bleyblue

    Re : Réciproques de fonctions hyperboliques

    Daccord j'ai bien compris, merci

    Pour intégrer sqr(1+x²), ce n'est pas jouable si on ne pense pas à poser x = sh(u).
    Oui justement, j'arrivais à la résoudre sans problèmes en posant x = sh(u) mais j'obtenais donc un Argsh(x) dans la réponse, hors j'avais remarqué que celui ci pouvait être remplacé par un ln ...

    Merci encore !

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  10. #7
    Stephen

    Re : Réciproques de fonctions hyperboliques

    Je crois qu'on peut aussi le faire en calculant les dérivées : elles sont les mêmes sur les domanes de définition des fonctions. Ainsi on a égalité à une constante près, il suffit donc de voir que les fonctions coincident en un point pour que la constante soir nulle

  11. #8
    Bleyblue

    Re : Réciproques de fonctions hyperboliques

    Oui ça ça démontrerait, mais ça n'expliquerait pas comment on en est arriver à exprimer les fonctions réciproques sous formes de ln ...

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