Equa diff 2nd ordre ==>sys equa diff 1er ordre

[invite9a2a0be4]

Bonjour

Pardon pour mon ignorance, mais j'aimerais savoir comment transformer une equation differentielle du 2nd ordre en un systeme de 2 equations differentielles du second ordre.
Concretement, j'ai ca :



Merci d'avance ...
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[invitec314d025]

Tu poses :
X = y
Y = y'

Tu obtiens :
X' = Y
Y' = - aY - kX

C'est donc un système de deux équations d'ordre 1 (si c'était encore du second ordre, ça n'aurait pas beaucoup d'intérêt).

[Bleyblue]

Mais si tu cherches les solutions de ton équadiff tu ne dois pas spécialement faire ça.

Ton équation caractéristique est r² + ar + k et tu discutes en fonction de a et k.

[invitec314d025]

Oui, mais la transformation en système fonctionne aussi pour des ordres plus grands.

[A voir en vidéo sur Futura]

[Bleyblue]

Ah bon (quoique à priori ce que je viens de dire aussi non ? mais ça risque de devenir très compliqué évidemment )

[invite3f53d719]

Ah bon (quoique à priori ce que je viens de dire aussi non ? mais ça risque de devenir très compliqué évidemment )

Bah en fait oui, on garde cette histoire de polynome caractéristique pour les équa diff du nième ordre à coefficients constants. Mais pour le montrer, c'est pas très compliqué grâce au lemme des noyaux: si on considère l'endomorphisme delta qui à f associe sa dérivée, alors delta annule le polynome caractéristique. On le factorise (ou tout du moins on essaie...), et hop, un petit coup de lemme des noyaux, et on obtient la solution comme combinaison linéaire de produit d'exponentielles par un polynome. (comment ca c'est pas très clair?? :P)

Eric

[invite6b1e2c2e]

Mais si tu cherches les solutions de ton équadiff tu ne dois pas spécialement faire ça.

Ton équation caractéristique est r² + ar + k et tu discutes en fonction de a et k.

Salut,

Je sais pas si on t'a prouvé pourquoi on faisait ça, mais c'est très lié à la démonstration qu'a donné matthias.

Tu écris
X' = Y
Y' = -a Y -kX
Cela donne sous forme matricielle
Z' = M Z,
où Z est le vecteur (X,Y) et M est la matrice
(0,1)
(-k,-a)
Et après on se demande comment calculer l'exponentielle de cette matrice. En termes moins savant, si la matrice est diagonalisable, ce qui signifie ,par exemple, que son polynôme caractéristique P(X) = X(X-a)+k = X^2 - aX+k est scindé, alors, dans une bonne base, M est une matrice diagonale, et tu es ramené à résoudre S1' = c1*S1, et S2' = c2*S2 ce qui est vraiment facile.
Si P(X) a une racine double X = -a/2, soit M est diagonalisable, soit M ne l'est pas. Si M ne l'est pas, c'est le cas chiant, il faut calculer l'exponentielle de la matrice
(1,1)
(0,1).
Ce qui est quand même faisable, faut pas déconner.
Sinon, M est diagonalisable, avec deux valeurs propres identiques, donc M est diagonale dans toutes les bases, et ça c'est impossible, vu que la première ligne de M dans la base initiale est (0,1).
Du coup, c'est fini.
Tu peux faire la même chose pour des systèmes différentiels d'ordre N à coefficients constants : Il suffit de calculer l'exponentielle de la matrice... Ce qui se complique considérablement en dimension supérieure, je te l'accorde, à moins que le polynôme caractéristique soit scindé à racines simples...

__
rvz

[Bleyblue]

Non je ne savais pas ça.

Je me rends compte en fait que mes connaissances en analyse sont surtout "techniques" en ce sens que je sais rarement expliqué ce que je fais.
C'est dû au fait que cela nécessite des notions d'algèbre linéaire (espaces vectoriels, espaces affins, diagonalisations ...) que je ne connais que depuis peu (en fait cela aurait peut-être été plus logique d'apprendre d'abord l'algèbre linéaire et ensuite l'analyse)

Mais bon comme maintenant je connais je vais pouvoir me lancer dans une étude plus approfondie du calcul différentiel et intégral.

Je vais bien m'amuser

[invitec314d025]

D'un point de vu théorique, la transformation en système est intéressante car elle permet de ramener toutes les équations différentielles ordinaires de degré k quelconque dans E à une équation différentielle d'ordre 1 dans E^k, et donc de réutiliser les résultats sur les équations d'ordre 1. Et ce n'est pas propre aux équations linéaires ou affines.