Variété différentielle - Sphère S^2

[invite8ef93ceb]

Bonjour,

une toute petite question. Dans mon livre de RG (R. Wald), on donne un exemple simple de variété différentielle :

.

Il dit que (la surface de) cette sphère ne peut être "transformée" dans d'une façon continue et univoque (à un point de la surface de la sphère correspond un et un seul point de ), mais que des "morceaux" de cette sphère le peuvent. C'est assez clair dans mon esprit.
Ce qui est moins clair, c'est qu'il utilise six (6!) DEMI-SPHÈRE pour couvrir (à moins que je comprenne mal). Il dit: "Par exemple, si on défini 6 ensemble ouverts hemisphérique

,

alors recouvre ".

Pourquoi 6 demi-sphères!? En d'autres mots: pourquoi pas 2 demi-sphères?

Merci beaucoup,

Simon
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[invite6b1e2c2e]

Bonjour,

Je pense que tu as de besoins que les demi-sphères se superposent pour pouvoir faire des recollements (type carte). Sinon, pour définir les différentielles tu vas avoir du mal sur les bords...

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rvz

[invite8ef93ceb]

Oh! Est-ce que c'est justement que les ensembles sont ouverts et que n'est pas inclut, pour tout , ?

Et donc, pour que les "cartes" puissent être "jointes", on doit absolument en prendre plus que deux?

edit: croisement avec rvz.

[invite4793db90]

Salut,

on peut recouvrir la sphère avec deux cartes : les projections stéréographiques selon le pôle nord et le pôle sud. Mais dans ce cas, l'image d'une carte doit être plus gros qu'une demi-sphère pour satisfaire aux conditions de recollement.

Après, je ne sais pas si 6 est le nombre minimum de demi-sphères nécessaires mais c'est ce qu'a l'air de dire ton bouquin... (et c'est intuitivement ce à quoi on peu s'attendre)

Cordialement.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite8ef93ceb]

Ok,

merci... désolé, je l'ai vu une demi seconde après avoir cliqué sur "envoyer"...

[invite986312212]

Après, je ne sais pas si 6 est le nombre minimum de demi-sphères nécessaires mais c'est ce qu'a l'air de dire ton bouquin... (et c'est intuitivement ce à quoi on peu s'attendre)

j'ai l'impression qu'on arrive à recouvrir la sphère avec 4 demi-sphères ouvertes: en les centrant sur les sommets du tétraèdre régulier inscrit. En tout cas 5 suffisent c'est sûr.