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Qu'est-ce qu'une variété ?




  1. #1
    bobbyfischer

    Qu'est-ce qu'une variété ?

    Bonjour,
    tout est dans le sujet. Lors de mes recherches, j'ai plus ou moins compris qu'il s'agisait d'un ensemble localement assimilable A R^n(si la dimension de la variete est n)

    mais c'est tout, alors si une ame charitable pouvait m expliquer en termes clairs et les plus simples possibles ce que c'est, ca serait cool !

    bob

    -----


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  3. #2
    BS

    Re : Qu'est-ce qu'une variete ?

    Plus précisément c'est un espace qui est localement assimilable à R^n. En fait il y a autant de types de variétés différents qu'il y a de notions de régularité différentes. La version la plus élémentaire est celle de variété topologique qui est uniquement liée à la notion de continuité. Une variété topologique est un espace M, qui localement est homéomorphe à R^n, c'est à dire que pour tout point de M, on peut trouver un petit voisinage déformable de façon continue en R^n. Par exemple une sphère, il est assez clair que "localement" on peut la déformer de façon continue en un plan, mais on ne pourra jamais en faire de même glovalement : pour transformer la sphère entière en un plan, il faudrait déchirer quelque part, la transformation ne serait pas continue.

    Ce que l'on entend le plus souvent par variété, c'est variété différentiable, c'est une variété topologique mais sur laquelle on aimerait faire du calcul différentiel, c'est en général assez difficile, il faut introduire des coordonnées. Par exemple sur la sphère on a les coordonnées sphériques mais elles se comportent mal au niveau des pôles, il n'y a pas de bon système de coordonées global sur une sphère, c'est pourquoi on travaille localement. Or une variété est localement homéomorphe à R^n, en fixant un tel homéomorphisme, on peut alors utiliser les coordonnées usuelles de R^n comme système de coordonnées LOCAL ! On a donc plein de systèmes de coordonnées différents, chacun dépendant d'un point de la variété. On peut alors faire du calcul différentiel, définir les application différentiables comme étant celles qui sont différentiables (au sens de R^n) dans ces coordonnées. Mais ces systèmes doivent forcément se recouper. Qui dit qu'une application différentiable dans un système le sera dans un autre ? On impose donc à ces systèmes d'être compatibles entre eux, c'est à dire que le passage d'un système de coordonnées à un autre (changement de coordonnées) doit être différentiable, ces systèmes de coordonnées forment ce qu'on appelle un atlas différentiable, et munit la variété topologique d'une structure de variété différentielle, on a gagné quelque chose : on peut faire du calcul différentielle.

    Ensuite tout ceci se généralise : en imposant aux changement de coordonnées d'être analytique, on peut définir des fonctions analytiques, si se sont des applications polynomiales, on obtient des variétés algébriques lisses etc.

    Ceci est une explication du pourquoi l'on fait ça, mais après je te conseille de regarder des débuts de cours de géométrie différentielle (dans la bibliothèque par exemple) pour voir comment tout cela se formalise.

  4. #3
    bobbyfischer

    Re : Qu'est-ce qu'une variete ?

    merci beaucoup
    je vais de ce pas voir ce que tu m'as indique


  5. #4
    Quinto

    Re : Qu'est-ce qu'une variete ?

    Salut,
    bon BS a déjà répondu, ce sera forcément mieux que moi dommage
    Mais je pense qu'on en dit déjà beaucoup en disant qu'une variété est un ensemble localement homéomorphe à R^n.

    Grosso modo ca généralise les notions habituelles d'analyse et de géométrie à autre chose qu'un plan. La sphère et le tore sont les exemples les plus facilement concevables..
    Pour travailler sur une variété, on prend nos points, on les ramène dans R^n (par l'intermédiaire de l'homéomorphisme), on fait "nos petites affaires" et on revient sur notre variété par l'homéomorphisme réciproque. Voilà l'idée globale.

  6. #5
    evariste_galois

    Re : Qu'est-ce qu'une variete ?

    Citation Envoyé par Quinto
    Salut,
    bon BS a déjà répondu, ce sera forcément mieux que moi dommage
    Mais je pense qu'on en dit déjà beaucoup en disant qu'une variété est un ensemble localement homéomorphe à R^n.

    Grosso modo ca généralise les notions habituelles d'analyse et de géométrie à autre chose qu'un plan. La sphère et le tore sont les exemples les plus facilement concevables..
    Pour travailler sur une variété, on prend nos points, on les ramène dans R^n (par l'intermédiaire de l'homéomorphisme), on fait "nos petites affaires" et on revient sur notre variété par l'homéomorphisme réciproque. Voilà l'idée globale.

    Dans le principe, ça à l'air super efficace, mais peut-on, même si on assuré de l'existence, trouver un tel homéomorphisme?

    Petite question intermédiaire, j'avais entendu parlé de sous-variété il y a quelques temps, je suppose qu'il y a un lien entre sous-variété et variété, mais quel est-il?
    "Au train où vont les choses, les choses où vont les trains ne seront plus des gares."

  7. A voir en vidéo sur Futura
  8. #6
    martini_bird

    Re : Qu'est-ce qu'une variete ?

    Citation Envoyé par evariste_galois
    Dans le principe, ça à l'air super efficace, mais peut-on, même si on assuré de l'existence, trouver un tel homéomorphisme?

    Petite question intermédiaire, j'avais entendu parlé de sous-variété il y a quelques temps, je suppose qu'il y a un lien entre sous-variété et variété, mais quel est-il?
    Salut,

    pour les sous-variétés, la structure (topologie, différentielle, etc.) est induite par celle de l'espace ambiant (par exemple, on peut voir une courbe comme une sous-variété de R² ou R3, une quadrique dans R3, la bouteille de Klein dans R4, etc.).

    En revanche, une variété est définie de manière intrinsèque, sans faire référence à un plongement dans un Rn.

    Question aux spécialistes: il me semble que l'on peut plonger toute variété de dimension n dans R2n+1. Vous avez déjà entendu parler de ce théorème? Merci d'avance.

    EDIT: peut-on aussi plonger P²(R) dans R4?
    Dernière modification par martini_bird ; 11/07/2005 à 13h35.

  9. #7
    Quinto

    Re : Qu'est-ce qu'une variete ?

    Citation Envoyé par martini_bird
    Question aux spécialistes: il me semble que l'on peut plonger toute variété de dimension n dans R2n+1. Vous avez déjà entendu parler de ce théorème? Merci d'avance.
    Oui c'est le théorème de Withney.
    Notamment c'est un théorème utile car il prouve que si une variété est orientable, alors ses sous variétés ne le sont pas forcément...
    Justement R^2n+1 est orientable alors que la bouteille de Klein ne l'est pas (je pense qu'ici n=4)

    EDIT: peut-on aussi plonger P²(R) dans R4?
    Qu'est ce que P²(R) ici?

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  11. #8
    martini_bird

    Re : Qu'est-ce qu'une variete ?

    Citation Envoyé par Quinto
    Oui c'est le théorème de Withney.
    Merci!

    Citation Envoyé par Quinto
    Qu'est ce que P²(R) ici?
    L'espace projectif réel de dimension 2 (obtenu par exemple à partir d'un disque en recollant le bord selon l'application antipodale).

  12. #9
    Sephi

    Re : Qu'est-ce qu'une variete ?

    Il s'agit des théorèmes de plongement de Whitney. Il y a trois versions de ce théorème (version faible, moyenne et forte).

    Ces trois versions disent que toute variété compacte de dim n peut être plongée, respectivement, dans RN (pour un N2n), R2n+1 et enfin R2n.

    Dans ce lien-ci, si tu regardes aux leçons 9, 14 et 21-22, tu y trouveras ces "Whitney embedding theorems" : http://ocw.mit.edu/OcwWeb/Mathematic...otes/index.htm

    EDIT: peut-on aussi plonger P²(R) dans R4?
    Oui, il me semble d'ailleurs que c'est un des exemples classiques qui illustrent le théorème (fort) de Whitney. La bouteille de Klein est également une variété de dim 2, et plongeable dans lR4 (on se rappelle que vouloir "bien" représenter cette bouteille exigerait 4 dimensions, justement).
    Dernière modification par Sephi ; 11/07/2005 à 14h03.

  13. #10
    martini_bird

    Re : Qu'est-ce qu'une variete ?

    Merci Sephi,

    j'en déduis donc que comme P²(R) est compacte, la version forte du théorème de Whitney permet de conclure que l'on peut le plonger dans R4. (EDIT: croisement avec ton édition.)

    Il y a néanmoins quelque chose qui me chiffonne: la version forte affirme qu'une courbe fermée (donc compacte) peut être plongée dans R². Mais si j'imagine un cercle "tordu" dans R3, je ne vois pas pourquoi on pourrait le plonger dans R²...

    Un éclaircissement?

    Merci d'avance.

  14. #11
    BS

    Re : Qu'est-ce qu'une variete ?

    Ca ne pose pas de problème car le fait que ton cercle soit "tordu" demande plus que des notions topologiques ou même différentielles pour être caractérisé intrinsèquement. Ce sont des propriétés de la courbure, donc des propriétés métriques, mais un plongement n'est pas une isométrie. Le même résultat pour des variétés riemanniennes avec plongement isométrique au lieu de plongement doit être faux. La structure différentielle seule ne permet pas de voir que ton cercle est tordue. Par exemple la structure topologique permet de retrouver l'orientation, ce qui fournit l'obstruction à plonger P^2(R) dans R^3.

  15. #12
    martini_bird

    Re : Qu'est-ce qu'une variete ?

    Merci BS,

    c'est plus clair maintenant.

  16. #13
    tommmyb

    Re : Qu'est-ce qu'une variete ?

    yes!! touojurs commencer par Rn

    Une variete differentiable est un espace topologique muni d'un atlas maximal, c'est a dire une ensemble de cartes :couples Ui (ouverts) et phi (i) homeomorphismes de Ui dans Rn , qui soient compatibles:
    cad
    phi(i) o Phi -1 (j) ( U(i) inter U(j)) est un DIFFEOMORPHISME entre les ouverts
    phi (j) ( U(i) inter U(j)) et phi (i) (U(i) inter U(j)).
    MAXIMAL, ca veut dire que TOUTES ces cartes sont compatibles avec l'atlas.

    Je sais c'est un peu abstrait.

    Grossomodo ca veut dire que si tu decoupe une pelure d'orange en parties (ouverts), tu peux les "aplatir" suffisament proches d' un sisteme de coordonnees. et que tu peux passer d'une pelure d'orange a une autre sans singularite.

    Exemple: la sphere, le tore (variete produit).

    Bref, une variete differentiable GENERALISE la notion de surface pour des espaces abstraits.
    Tu peux aussi voir une variete differentiable comme une SOUS-VARIETE de Rn , le cas des surfaces "classiques": ce sont des immersions dans Rn parce qu'elles sont definies par des equations. C'est un peu comme les hyperplans, mais la ce sont plus des plans.

  17. #14
    tommmyb

    Re : Qu'est-ce qu'une variete ?

    Pardon pur le retard. J'ai une question. Si quelqu'un peut m'aider...
    Bonjour a tous.

    Je suis tombe sur une exo dont les hypotheses sont les suivantes:
    Soit un ressort mobile (sans frottement) pouvant se deplacer dans R3. Sachant que la longueur, L, du ressort est strictement comprise entre deux constantes L1 et L2, decrire l'espace de configuration de ce ressort comme produit de R3 et de deux autres varietes.

    Il me semble que la premiere variete depend du segment ouvert (diffeomorphe a S1), mais je n'arrive pas a trouver de deuxieme variete. J'ai besoin d'un coup de magie...

  18. #15
    ringedspace

    Re : Qu'est-ce qu'une variete ?

    Citation Envoyé par BS
    Ca ne pose pas de problème car le fait que ton cercle soit "tordu" demande plus que des notions topologiques ou même différentielles pour être caractérisé intrinsèquement. Ce sont des propriétés de la courbure, donc des propriétés métriques, mais un plongement n'est pas une isométrie. Le même résultat pour des variétés riemanniennes avec plongement isométrique au lieu de plongement doit être faux.
    En fait si, il est vrai : il s'appelle le théorème de Nash. Une preuve (partielle) constitue le sujet d'agrégation externe de 1998 il me semble. Par contre évidemment on s'attend à ce que la dimension soit beaucoup plus élevé que 2n (je crois me souvenir que c'est en n²).

    Sinon le théorème de Withney ne s'applique (heureusement) pas seulement pour les variétés compactes (la preuve en est assez simple pour le coup !) mais à toute variété pour peu qu'elle soit dénombrable à l'infini, hypothèse assez faible, équivalente à la paracompacité, histoire d'avoir des fonctions plateaux à notre rescousse.

    Le résultat fort de Whitney est d'avoir démontrer qu'on pouvait plonger une variété de dimension n dans RN avec mais ce n'est pas un résultat optimal.

    Il existe un joli résultat optimal de Ralph Cohen (1985) sur la dimension minimale dans laquelle on peut immerger notre variété de dimension n : c'est 2n - F(n) où F(n) est le nombre de 1 présents dans l'écriture dyadique de n.

    Voilà, j'ai raconté ma science

  19. #16
    GuYem

    Re : Qu'est-ce qu'une variete ?

    Citation Envoyé par ringedspace
    Il existe un joli résultat optimal de Ralph Cohen (1985) sur la dimension minimale dans laquelle on peut immerger notre variété de dimension n : c'est 2n - F(n) où F(n) est le nombre de 1 présents dans l'écriture dyadique de n.

    Voilà, j'ai raconté ma science
    Bienvenu sur le forum ringedspace.

    Voilà un truc qui, excusez-moi l'expression, me troue le c*l !

    Que peut bien être le rapport entre la dimension minimale d'immersion d'une variété de dimension n et l'écriture dyadique de n ??

    Il y a de ces trucs mystiques des fois ...
    Bravo jolie Ln, tu as trouvé : l'armée de l'air c'est là où on peut te tenir par la main.

  20. #17
    limitinfiny

    Re : Qu'est-ce qu'une variete ?

    salut, pendant qu'on y est a quoi sert un " fibre bundle " ? ( pas su comment traduire, paquet fibré ca fait trop moche !! )

  21. #18
    homotopie

    Re : Qu'est-ce qu'une variete ?

    Citation Envoyé par tommmyb
    Pardon pur le retard. J'ai une question. Si quelqu'un peut m'aider...
    Bonjour a tous.

    Je suis tombe sur une exo dont les hypotheses sont les suivantes:
    Soit un ressort mobile (sans frottement) pouvant se deplacer dans R3. Sachant que la longueur, L, du ressort est strictement comprise entre deux constantes L1 et L2, decrire l'espace de configuration de ce ressort comme produit de R3 et de deux autres varietes.

    Il me semble que la premiere variete depend du segment ouvert (diffeomorphe a S1), mais je n'arrive pas a trouver de deuxieme variete. J'ai besoin d'un coup de magie...
    Pour positionner entièrement le ressort, il suffit d'avoir
    1) la position x d'un point bien défini du ressort (une des deux extrémités ou son centre de symétrie s'il le reste lors du mouvement du ressort)
    2) la direction et le sens de celui-ci ce qui se ramène à un vecteur unitaire v bien choisi
    3) la longueur du segment l
    Quelles sont les espaces possibles pour x, v et l ?
    Ces trois variables sont-elles indépendantes ? (produit?)
    Ca doit suffir je pense.

  22. #19
    homotopie

    Re : Qu'est-ce qu'une variete ?

    Citation Envoyé par limitinfiny
    salut, pendant qu'on y est a quoi sert un " fibre bundle " ? ( pas su comment traduire, paquet fibré ca fait trop moche !! )
    Une réponse rapide :
    un fibré ou espace fibré peut entre autres (c'est loin d'être l'exception) servir à avoir des informations sur un espace à partir d'informations sur un autre.
    Les exemples sont malheureusement rarement (jamais?) triviaux.
    Un des plus simples
    Z->R->>cercle est le moyen le plus simple (il y en a d'autres) pour calculer le groupe fondamental du cercle ; il permet également de savoir que le cercle n'a de la "topologie qu'en dimension 1"* (ce que les autres méthodes ne donnent pas)

    un autre classique : le fibré en cercle de la sphère
    permet de calculer "facilement" le 3ème groupe d'homotopie de + quelques autres infos (S^3 est plus "simple" que S^2 car possède une structure de groupes). Ce fibré (avec l'aide d'autres) peut aussi servir à montrer que le plan projectif complexe est homéomorphe à la sphère S^2.

    Il y a des exemples d'autres types d'infos topologiques (il y a un exemple sur ce forum d'utilisation de fibrés pour montrer qu'il n'existe pas d'action libre continue d'un groupe fini sur R^n) et également dans d'autres domaines : géométrie différentielle, géométrie algébrique........

  23. #20
    invite986312212
    Invité

    Re : Qu'est-ce qu'une variété ?

    un truc marrant avec les variétés différentielles, c'est que, comme il n'y a de contraintes que sur les changements de carte, s'il n'y a qu'une carte il n'y a plus de contrainte et n'importe quel ensemble qui peut être mis en bijection avec R peut être vu comme une variété (de n'importe quelle dimension)

  24. #21
    homotopie

    Re : Qu'est-ce qu'une variété ?

    Citation Envoyé par ambrosio
    un truc marrant avec les variétés différentielles, c'est que, comme il n'y a de contraintes que sur les changements de carte, s'il n'y a qu'une carte il n'y a plus de contrainte et n'importe quel ensemble qui peut être mis en bijection avec R peut être vu comme une variété (de n'importe quelle dimension)
    Oui mais si c'est seulement un ensemble alors ce n'est pas un espace
    Il y a quand même une contrainte minimale pour les cartes (même s'il n'y en a qu'une) celle-ci est un homéo entre un ouvert de l'espace et R^n (ce qui implique que la dimension est définie de manière unique au passage)

  25. #22
    invite986312212
    Invité

    Re : Qu'est-ce qu'une variété ?

    [ouo mais avec une bijection quelconque on transporte la topologie, c'est ce que je voulais dire. Mais je reconnais que ça n'a pas beaucoup d'intérêt.

  26. #23
    ringedspace

    Smile Re : Qu'est-ce qu'une variete ?

    Citation Envoyé par limitinfiny Voir le message
    salut, pendant qu'on y est a quoi sert un " fibre bundle " ? ( pas su comment traduire, paquet fibré ca fait trop moche !! )
    On dit en français "espace fibré". Ce sont des variétés naturellement présentées comme le rassemblement (= réunion disjointe) d'un paquet de variétés toutes semblables (= difféomorphes, mais pas forcément de façon canonique) appelées "fibres".

    Exemple. Si V est une variété différentielle, Tx V l'espace vectoriel tangent en x à V, il est très utile de définir la collection complète de tous ces espaces vectoriels : on pose leur réunion disjointe. Il est alors facile de munir cette horreur d'une structure différentielle (de dimension 2n si V est de dimension n). Un champ de vecteurs sur V sera alors une section de ce fibré, cad une application lisse s de V sur TV telle que s(x) soit dans Tx V pour tout x.

    A part les fibrés vectoriels dont les fibres sont des EV, il y a les fibrés principaux dont la fibre est difféomorphe (de façon non canonique) à un groupe de Lie. L'exemple le plus célèbre je pense est la fameuse sphère quaternionique S3, qui a donné tant de mal dans la conjecture de Poincaré. S3 est un fibré (principal) dont les fibres sont toutes difféomorphes au groupe compact S1 (le cercle !) et basé sur la sphère S2 (TV il est basé sur V : la base c'est la variété où s'enfilent les fibres.

    Eh bien que de vieux souvenirs... quand je pense que maintenant j'explique les fractions en seconde (et un peu les matrices diagonalisables en PSI* mais bon)....

    Bref un sujet passionnant, que je te recommande d'approfondir !

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