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Définition : fonction continue par morceaux.



  1. #1
    kron

    Définition : fonction continue par morceaux.


    ------

    Bonsoir !
    Voilà mon probleme :
    En sup, on apprend la définition d'une fonction continue par morceaux sur un segment [a,b].
    C'est donc une fonction telle qu'il existe une subdivision adaptée à la fonction telle que la fonction restreinte à chaque subdivision soit continue et a une limite finie aux deux bornes de la subdivision.

    Or, en spé (PSI) le premier chapitre concerne les intégrales impropres et on y parle de fonctions continues par morceaux sur un ouvert ]a,b[. Quelle est la différence avec la définition apprise en sup ?
    Peut-on avoir des limites infinies en a et en b ? Et si a ou b est égal à l'infini, peut-on avoir un cas de limite indéterminée ? (à cause d'un cosinus, par exemple)

    Merci d'avance pour vos réponses.

    Cordialement.

    Kron

    -----
    Life is music !

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  3. #2
    IceDL

    Re : Définition : fonction continue par morceaux.

    Bonsoir a toi aussi,

    Citation Envoyé par Kron
    Bonsoir !
    Voilà mon probleme :
    En sup, on apprend la définition d'une fonction continue par morceaux sur un segment [a,b].
    C'est donc une fonction telle qu'il existe une subdivision adaptée à la fonction telle que la fonction restreinte à chaque subdivision soit continue et a une limite finie aux deux bornes de la subdivision.
    Hmm, ceci n'est pas tout a fait exact (en tout cas pas comme tu le dis : je ne sais pas si j'ai bien compris)

    Une fonction continue par morceaux sur [a,b] est une fonction telle qu'il existe une subdivision adaptée à la fonction telle que la fonction restreinte à chaque sous-intervalle ouvert de la subdivision soit continue.
    Ceci authorise notamment une discontinuite au bord (auquel cas il n'y a pas de limite finie aux bornes...).

    Citation Envoyé par Kron

    Or, en spé (PSI) le premier chapitre concerne les intégrales impropres et on y parle de fonctions continues par morceaux sur un ouvert ]a,b[. Quelle est la différence avec la définition apprise en sup ?
    Peut-on avoir des limites infinies en a et en b ? Et si a ou b est égal à l'infini, peut-on avoir un cas de limite indéterminée ? (à cause d'un cosinus, par exemple)
    C'est tout simple : une fonction continue par morceaux sur un intervalle I de R sera simplement une fontion continue par morceaux sur tout sous-segment [a,b] de I. On peut donc avoir des limites infinies en tout point de l'adherence de I (par exemple en a et b pour ]a,b[).

    Par contre que veux-tu dire par limite indeterminee ?

  4. #3
    Ithilian_bzh

    Re : Définition : fonction continue par morceaux.

    Moi j'ai encore une autre définition, plus générale : (copyrigthée par mon prof de maths de spé )

    Une fonction f est machin par morceaux sur [a,b] si il existe une subdivision ai de [a,b] telle que la restriction de f à chaque ]ai,ai+1[ soit prologeable en une fonction machin sur le fermé correspondant.

    Comme ça on a les continues par morceaux mais aussi les constantes par morceaux (en escalier), et les Ck par morceaux.
    Astronome ingénieur alternatif

  5. #4
    kron

    Re : Définition : fonction continue par morceaux.

    Merci à vous deux pour les réponses. Je vois mieux à présent.
    Pour le coup de la limite indéterminée, c'était juste par exemple si on a f=cosx, par exemple, et la limite de f quand x tend vers l'infini n'existe pas.
    Mais en fait ce cas ne me pose pas tellement de problèmes, donc c'est bon.
    Voila, bonne journée à vous, et merci encore.
    Life is music !

  6. A voir en vidéo sur Futura
  7. #5
    IceDL

    Re : Définition : fonction continue par morceaux.

    Citation Envoyé par Ithilian_bzh Voir le message
    Moi j'ai encore une autre définition, plus générale : (copyrigthée par mon prof de maths de spé )

    Une fonction f est machin par morceaux sur [a,b] si il existe une subdivision ai de [a,b] telle que la restriction de f à chaque ]ai,ai+1[ soit prologeable en une fonction machin sur le fermé correspondant.

    Comme ça on a les continues par morceaux mais aussi les constantes par morceaux (en escalier), et les Ck par motrceaux.
    Salut,

    En fait je me suis rendu compte en lisant ton post que j'avais dit une assez grosse betise : ma definition n'est pas juste (par contre la tienne c'est .la bonne, tout me revient maintenant... ah les vacances).

    Sorry pour toi kron, mais par contre la generalisation reste bonne .

    Allez @+

  8. #6
    kron

    Re : Définition : fonction continue par morceaux.

    Hehe, oui j'ai revu ça aujourd'hui.
    Pas grave, IceDL ^^

    Merci encore à vous deux.

    PS : Ithilian, c'est de la triche tu as eu un super prof de maths...
    Life is music !

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  10. #7
    sehelmehel

    Re : Définition : fonction continue par morceaux.

    Salut a tous.

    Définition
    On dit qu’une fonction f est continue par morceau sur [a; b] si f est continue sur [a; b] sauf peut-être en un nombre fini de points en lesquels elle possède des limites finies à gauche et droite (pas nécessairement égales)

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