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Intersection sphère/sphère



  1. #1
    nfactoriel

    Intersection sphère/sphère


    ------

    Bonjour à tous!

    Dans le cadre de mes révisions pour la Maturité ( équivalent du Bac en Suisse ) je bloque sur un problème d'intersection de sphères :

    J'ai deux sphères,

    S1 : (x-1)2 + (y-2)2 + (z-2)2 = 36
    S2 : x2 + y2 + z2 - 18 = 0

    Et il s'agit de montrer que les deux sphères sont sécantes en un cercle dont il faut préciser le centre I et le rayon R.
    J'ai un problème pour déterminer le rayon de ce cercle.

    Bon, je trouve que les centres et rayons des sphères sont respectivement C1(1,2,2) R1 = 6 et C2(0,0,0) et R2 = 3*sqrt(2)

    Or la distance C1C2 vaut 3 et R1+R2>3 donc les sphères sont sécantes en un cercle.

    Pour le centre I du cercle, je trouve d'abord le plan radical en soustrayant les équations des sphères : beta : 2x + 4y + 4z +9 = 0
    Ensuite je détermine la droite passant par C1 et C2. Ses équations paramétriques sont :
    x = k
    y = 2k
    z = 2k

    Le centre I est à l'intersection de cette droite et du plan radical, je trouve donc I(-1/2, -1, -1).
    Bon, jusque là je ne pense pas m'être trompé, mais maintenant je ne vois pas comment trouver le rayon du cercle...

    Je serais ravi si quelqu'un pouvait me donner une piste!

    Merci...

    -----

  2. Publicité
  3. #2
    GuYem

    Re : Intersection sphère/sphère

    Bonjour, tu as trés bien fait jusque là.
    Ce qui est intéressant dans cette construction avec le plan radical, c'est qu'il est orthogonal à la droite (C1 C2).
    Du coup prend un point M sur l'intersection des deux spphères et alors le triangle MIC_1 est rectangle! Un coup de pythagore et tu trouves la distance IM, ie le rayon du cercle que tu cherches
    Bravo jolie Ln, tu as trouvé : l'armée de l'air c'est là où on peut te tenir par la main.

  4. #3
    nfactoriel

    Re : Intersection sphère/sphère

    Ah oui!

    Pas mal!

    Effectivement, ça me donne R12 = R2 + [C1I]2

    et donc R2 = 36 - ( (-3/2)2 +18)

    R= 3*sqrt(7)/2

    Merci!

  5. #4
    GuYem

    Re : Intersection sphère/sphère

    Be my guest, c'est beau la géo dans l'espace quand on voit ce qu'on fait.
    C'est couillu comme exo pour un niveau bac, j'aurais jamais été capable de le faire en terminale
    Bravo jolie Ln, tu as trouvé : l'armée de l'air c'est là où on peut te tenir par la main.

  6. A voir en vidéo sur Futura
  7. #5
    zapple

    Re : Intersection sphère/sphère

    Citation Envoyé par nfactoriel
    ...Pour le centre I du cercle, je trouve d'abord le plan radical en soustrayant les équations des sphères : beta : 2x + 4y + 4z +9 = 0
    Je trouve 2x+4y+4z=1.

  8. #6
    zapple

    Re : Intersection sphère/sphère

    Ce qui semble plus normal que 2x+4y+4z=-9

  9. Publicité
  10. #7
    nfactoriel

    Re : Intersection sphère/sphère

    Citation Envoyé par zapple
    Je trouve 2x+4y+4z=1.
    Comment trouves-tu ça?

    S1: x2 + y2 + z2 -2x -4y -4z -27 = 0
    S2: x2 + y2 + z2 -18 = 0

    S1-S2 = -2x - 4y - 4z -27 +18 = -2x - 4y -4z -9 = 0

    non?

  11. #8
    zapple

    Re : Intersection sphère/sphère

    Tu as parfaitement raison. Désolé pour l'erreur.

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