Intersection sphère/sphère

[invitecef73ce6]

Bonjour à tous!

Dans le cadre de mes révisions pour la Maturité ( équivalent du Bac en Suisse ) je bloque sur un problème d'intersection de sphères :

J'ai deux sphères,

S1 : (x-1)² + (y-2)² + (z-2)² = 36
S2 : x² + y² + z² - 18 = 0

Et il s'agit de montrer que les deux sphères sont sécantes en un cercle dont il faut préciser le centre I et le rayon R.
J'ai un problème pour déterminer le rayon de ce cercle.

Bon, je trouve que les centres et rayons des sphères sont respectivement C1(1,2,2) R1 = 6 et C2(0,0,0) et R2 = 3*sqrt(2)

Or la distance C1C2 vaut 3 et R1+R2>3 donc les sphères sont sécantes en un cercle.

Pour le centre I du cercle, je trouve d'abord le plan radical en soustrayant les équations des sphères : beta : 2x + 4y + 4z +9 = 0
Ensuite je détermine la droite passant par C1 et C2. Ses équations paramétriques sont :
x = k
y = 2k
z = 2k

Le centre I est à l'intersection de cette droite et du plan radical, je trouve donc I(-1/2, -1, -1).
Bon, jusque là je ne pense pas m'être trompé, mais maintenant je ne vois pas comment trouver le rayon du cercle...

Je serais ravi si quelqu'un pouvait me donner une piste!

Merci...
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[invitedf667161]

Bonjour, tu as trés bien fait jusque là.
Ce qui est intéressant dans cette construction avec le plan radical, c'est qu'il est orthogonal à la droite (C1 C2).
Du coup prend un point M sur l'intersection des deux spphères et alors le triangle MIC_1 est rectangle! Un coup de pythagore et tu trouves la distance IM, ie le rayon du cercle que tu cherches

[invitecef73ce6]

Ah oui!

Pas mal!

Effectivement, ça me donne R1² = R² + [C1I]²

et donc R² = 36 - ( (-3/2)² +18)

R= 3*sqrt(7)/2

Merci!

[invitedf667161]

Be my guest, c'est beau la géo dans l'espace quand on voit ce qu'on fait.
C'est couillu comme exo pour un niveau bac, j'aurais jamais été capable de le faire en terminale

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitebfbf094d]

...Pour le centre I du cercle, je trouve d'abord le plan radical en soustrayant les équations des sphères : beta : 2x + 4y + 4z +9 = 0

Je trouve 2x+4y+4z=1.

[invitebfbf094d]

Ce qui semble plus normal que 2x+4y+4z=-9

[invitecef73ce6]

Je trouve 2x+4y+4z=1.

Comment trouves-tu ça?

S1: x² + y² + z² -2x -4y -4z -27 = 0
S2: x² + y² + z² -18 = 0

S1-S2 = -2x - 4y - 4z -27 +18 = -2x - 4y -4z -9 = 0

non?

[invitebfbf094d]

Tu as parfaitement raison. Désolé pour l'erreur.