equa. diff. du 1er ordre

[Nicolas666666]

Bonjour à tous! Voilà j'ai un partiel a la rentrée, et je m'entraine aux equa. diff, et là je tombe sur un os!

(1+x)y'+y=(1+x)sinx

je trouve une solution générale de l'equa. homogène 1/|1+x| (c'est juste?) mais pour la solution particulière je bloque. J'ai essaiyé en posant w(x)=(ax+b)(ccosx+dsinx) mais ça me mène a un systeme a 4 inconnues trop long à résoudre (c'est un annale donc ils n'avaient pas 2h pour une equa. diff) donc j'ai essayé la méthode de la variation de la constante mais je n'arrive a rien...

Cordialement.
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[invite0e5af214]

Salut

Oui ta solution homogène est bien de la forme .

Ensuite la variation de la constante fonctionne bien : Tu as donc y =

y' =

Tu remplaces dans l'équation de départ, tu simplifies et tu tombes sur : K'(x) = (1+x)sin(x) que je te laisse le soin d'integrer.

Bon courage !

[Nicolas666666]

Pour l'équation homogène, il ne manque pas les valeurs absolues en bas?

[invite35452583]

Bonjour,
pour la solution oui, quoiqu'en étant tatillon, c'est :
les solutions maximales forment deux familles :
1) c/(1+x) sur
2) c/(1+x) sur

La méthode de variation de la constante marche bien ici (=pas trop bourrine).
On recherche sous forme c(x)/(1+x)
on aboutit à c'(x)=(1+x)sin(x) qui est une recherhce de primitive dont la forme est a priori connue (ça peut même se faire sans système). On regarde si une solution particulière peut se prolonger par continuité (je crois que oui).
Par contre ton "w(x)" ne me semble pas être solution.

[A voir en vidéo sur Futura]

[Nicolas666666]

voilà je trouve w(x) = -cos(x) + sin(x)/(1+x) et ça marche! dire que dans 5 jours c'est en 10 minutes que je dois faire ça allez une autre pour la route, en cas de besoin je reviens vous voir
encore merci!

(PS: cette histoire de valeur absolu me gène )

[invite4b9cdbca]

la primitive de 1/(1+x) est ln(1+x), que tu DOIS mettre à la valeur absolue sinon elle n'est pas définie sur ]-inf, -1[
En fait tu résouds ton équadiff sur les deux intervalles et tu réunis les deux bouts.

[invite0e5af214]

Oui ou alors tu fais porter le chapeau a la constante de ta solution homogène.
Comme ca bye bye la valeur absolue !

[Nicolas666666]

Oui ou alors tu fais porter le chapeau a la constante de ta solution homogène.
Comme ca bye bye la valeur absolue !

J'adore cette méthode, mais je la note comment dans mon partiel?

[Nicolas666666]

Si j'ai bien compris, on a :
y=c'/(1+x) sur ]1;+oo[ et y=c''/(1-x) sur ]-oo;1[
et il nous faut donc trouver une solution particulière différente pour les 2 intervalles? un peu long non?

[invite4b9cdbca]

Le principe est que c'est ps évident ^^
Perso, je pense qu'il faut justemebnt que tu "raccordes" les deux solutions sur les deux intervalles pour que ça colle quelques soit l'intervalle de définition de ta fonction.

[Nicolas666666]

mmm je vois mal comment c'est possible à moins de garder la valeur absolu.. et après si je la garde j'ai evidemment des problèmes de simplification quand je cherche la solution particulière..

[invite0e5af214]

Mais je ne plaisantais pas en disant que la valeur absolue peut partir dans la constante.

Si on résout l'équation homogène avec un logiciel de math, il nous donne :

[Nicolas666666]

Mais je ne plaisantais pas en disant que la valeur absolue peut partir dans la constante.

Mais comment le justifier? parce que la constante sera différente suivant l'intervalle non?

[Nicolas666666]

Je suis toujours face à ce problème..

[invite4b9cdbca]

Personnellement j'ai un doute concernant la constante de cherwam07
Mais j'avoue n'avoir rie de plus à proposer...

[Nicolas666666]

Je me suis trompé plus haut, en fait sur ]-oo;-1[, |1+x|=-(1+x) soit en fait la même solution sur les 2 intervalles à un signe près, donc a une constante multiplicative près, donc là tout s'arrange à peu près, je peux plus facilement faire porter le chapeau à cette fichu constante (Merci cherwam )
Cordialement, a+