droites remarquables d'un triangle

[invitedf1fac06]

Bonjour ! voilà, je voulais savoir comment on pouvait montrer que les médiatrices des cotés d'un triangles étaient concourantes en un point, avec ABC le triangle, et a,b et c les longueurs des côtés [BC], [AC] et[AB], et A',B' et C' les milieux des côtés [BC], [AC] et [AB].

Puisque je suis dans un triangle quelconque, sans base précise, je ne peux pas utiliser les coordonnées des vecteurs, donc impossible de passer aux coordonnées pour le déterminant ou le produit scalaire... Je ne vois donc pas quelle méthode je peux uiliser pour montrer que les médiatrices sont concourantes en un point...
Si quelqu'un a une idée, même la plus petite, merci d'avance !
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[Romain-des-Bois]

Salut :

tu as la méthode "bourrin" :

tu places ton triangle dans un repère (O,i,j), avec A = , B = , C = ,

de là, tu peux obtenir les coordonnées des milieux des côtés, donc les équations des médiatrices, et donc leur intersection...

Bon courage


Romain

[daboris]

c'est en réalité bien plus simple...

Soit ton triangle ABC

Soit (Da) la médiatrice de [BC]
Soit (Db) la médiatrice de [AC]
Soit (Dc) la médiatrice de [AB]

Soit O le point d'intersection de (Da) et (Db)

on a donc OB=OC et OA=OC

(par définition d'un point situé sur la médiatrice, et O appartient justement à ces médiatrices)

d'où OA=OB, et donc O est sur la médiatrice de [AB]

donc (Dc) passe par O

cqfd

[invitedf1fac06]

Je n'y aurai jamais pensé ! c'est logique que OB= OC et OA=OC en utilisant le théorème de Pythagore ! grâce à votre aide je vais pouvoir finir cet exercice...merci beaucoup !

[A voir en vidéo sur Futura]

[ericcc]

Ou ça Pythagore ?

[invitedf1fac06]

Pour OB=OC, il suffit d'appliquer le théorème de Pythagore, puisque les médiatrices forment un angle droit avec les côtés du triangle. On a donc :
OB²=BA'²+A'O² (A' étant le milieu de [BC]) et
OC²=OA'²+A'C²

or BA'=CA' donc OB²=OC² d'où OB=OC. De même OA=OC donc OB=OA
on utilise également le théorème de Pythagore pour montrer que si OB=OA, alors OB²=OA². d'où
OB²-BC'²=OA²-BC'² or C' est le milieu de [AB] donc
OB²-BC'² = OA²-AC'²
et donc OB²-BC'²-C'O² = OA²-AC'²-C'O²
donc on a OB²=BC'²+C'O² = OA² = AC'²+C'O²
Donc (C'O) est bien la médiatrice de [AB]. Donc les trois médiatrices sont concourantes en O.

[daboris]

j'imagine en utilisant les propriétés de la médiatrice.

elle coupe perpendiculairement le mileiu du segment.

par exemple, (Da) coupe [BC] perpendiculairement, en I milieu de [BC]

donc OB²=OI²+IB²
et OC²=OI²+IC²=OI²+IB² car IB=IC

d'où OB=OC (car ils sont positifs )

Mais cependant, tu n'as pas besoin d'utiliser pythagore pour le dire. Je crois que tu te mélanges tes définitions, ce sera mal vu par ton prof.

OB=OC est la définition de la médiatrice, et on en déduit donc qu'elle coupe perpendiculairement et en son milieu [BC]. Pas l'inverse !!

(définition : la médiatrice de [AB] est l'ensemble des points M tels que MA=MB)



(edit : c'est bien ce que je pensais )

[invitedf1fac06]

OB=OC est la définition de la médiatrice, et on en déduit donc qu'elle coupe perpendiculairement et en son milieu [BC]. Pas l'inverse !!

(définition : la médiatrice de [AB] est l'ensemble des points M tels que MA=MB)



(edit : c'est bien ce que je pensais )

Ahhhh ! oui ! ok j'ai compris ! je suis bete, tous les points de la médiatrice d'un segment sont à égale distance des extrémités de ce segment ! C'est plus logique comme ça en effet... (et je suis en prépa, bah bravo ! lol) Merci !

[inviteb47fe896]

La propriété fondamentale de la médiatrice est que "tout point de la médiatrice est équidistant des extrémités du segment" ; elle est fondamentale parce que la propriété directe et sa réciproque sont vraies.
Le point de concours des médiatrices est le centre d'un cercle qui passe par les trois sommets du triangle ; on l'appelle le cercle circonscrit au triangle.

[indian58]

Tu peux aussi appliquer le théorème de Ceva
http://fr.wikipedia.org/wiki/Th%C3%A...e_de_C%C3%A9va

[daboris]

les médiatrices ne passent pas par les sommets du triangle

(sauf dans des triangles particuliers bien sûr)

donc on ne peut pas utiliser ce théorème

[invitedf1fac06]

Bonsoir ! je n'arrive pas à terminer cet exercice... On a :
Soit H le point du plan tel que
(vecteur)OH=(vecteur)OA+(vecte ur)OB+(vecteur)OC.
Montrer que les hauteurs du triangle ABC sont concourantes en H.

Je retourne le problème dans tous les sens, mais je ne réusi pas à mettre le doigt sur la solution... même en introduisant les vecteurs BH, AH et CH, je ny arrive pas...
si quelqu'un peut m'aider, merci d'avance !

[daboris]

euh... ton point O, c'est quoi ?

car en prenant un point O au hasard, il est clair que le théorème est faux...

[indian58]

Essaye à coup de projections et de produits scalaires.

[invitedf1fac06]

Le point O c'est le point d'intersection de toutes les médiatrices ( centre du cercle circonscrit à ABC)...

[shokin]

Truc : les hauteurs d'un triangle ABC correspondent aux médiatrices du triangle circonscrit au triangle ABC.

Shokin

[invitedf1fac06]

Je ne pense pas que je puisse faire comme ça... j'ai essayé avec les produits scalaires et ça me donne ça

Comme (AH)perpendiculaire à (BC), et (BH) perpendiculaire à(AC), on a

AH.BC=0 et BH.AC=0 (bien sur, il s'agit de vecteurs, mais je ne le note pas)

Donc je peux dire :
AH.BC+BH.AC=0

Puis j'ai tenté d'introduire CH, pour avoir CH.AB=0, mais je tourne en rond... de plus je n'utilise pas la formule qui m'est données :
OH=OA+OB+OC (en vecteurs)

Voilà j'aimerai un peu d'aide...merci !

[shokin]

Truc : les hauteurs d'un triangle ABC correspondent aux médiatrices du triangle circonscrit au triangle ABC.

Shokin

Trace les hauteurs du triangle ABC, leur point d'intersection tu nommera H.

Grâce au tit truc que je t'ai dit (et recité), tu va en découvrir des choses.

Trace le triangle A'B'C' circonscrit au triangle ABC. Tu peux même imaginer le point G, centre de gravité commun des deux triangles.

Tu sais que :

- les triangles ABC et A'B'C' sont semblables

- O est centre d'intersection des médiatrices du triangle ABC et H est centre d'intersection des médiatrices du traingle A'B'C'.

Donc le vecteur -A'H-> vaut le double du vecteur -OA->.



Maintenant exprime le vecteur -OH-> en fonction des vecteurs -OA->, -OB-> et -OC-> :

-OH->

= -OB-> + -BA'-> + -A'H-> (relation de Chasles)

= -OB-> + ( -OC-> - -OA-> ) + -A'H->

= -OB-> + ( -OC-> - -OA-> ) + 2 * -OA->

= ...

Shokin

[invitedf1fac06]

Je comprend ton explication et je suis parfaitement d'accord avec elle, seulement étant donné l'énoncé, je ne pense pas avoir le droit de prendre autant d'initiatives...surtout pour arriver à un résultat qui m'est donné ! A moins que je ne mette l'explication "à l'envers", ce qui me semble un peu tiré par les cheveux...

Il faut que je fasse autrement...
merci quand même Shokin !

[invitedf1fac06]

Je crois que j'ai trouvé une solution, mais je n'utilise pas la donnée de l'énoncé.

Soit H l'intersection des hauteurs de [BC] et de [AC].
On a donc (AH)perpendiculaire à (BC) et (BH) perpendiculaire à (AC).
d'où
AH.BC=0 et BH.AC=0
(ce sont des vecteurs tout le long de la démonstration)

donc AH.BC-BH.AC=0
(AC+CH).BC + (BC+CH).CA = 0

AC.BC+CH.BC+BC.CA+CH.CA = 0

CH.(BC+CA)+AC.BC-AC.BC = 0

CH.BA=0

donc (CH) perpendiculaire à (BA) et donc les 3 hauteurs se coupent bien en H...

et là je suis en train de me dire que mon explication ne va pas car je prouve seulement que (CH) et (BA) sont perpendiculaire et pas que (CH) est la hauteur de [AB]... de plus je n'utilise pas la donnée de l'énoncé...ça me semble bizarre...

[shokin]

Depuis quand n'a-t-on pas le droit d'utiliser les données de la donnée ?

donc AH.BC-BH.AC=0

Oui

(AC+CH).BC + (BC+CH).CA = 0

Tu n'aurais pas oublié un - juste dans l'écriture.

Reste que j'arrive au même résultat que toi :

CH.BA=0

donc (CH) perpendiculaire à (BA) et donc les 3 hauteurs se coupent bien en H...

et là je suis en train de me dire que mon explication ne va pas car je prouve seulement que (CH) et (BA) sont perpendiculaire et pas que (CH) est la hauteur de [AB]... de plus je n'utilise pas la donnée de l'énoncé...ça me semble bizarre...

Pourquoi doutes-tu ? souviens-toi de la définition d'une hauteur. Est-ce que (HC) correspond à cette définition ?

Shokin

[invitedf1fac06]

Ahhh ! mais oui ! je me disais "il faut que je prouve que ça passe aussi par un sommet"...suis-je bete...C est un sommet de ABC ! Quant à la donnée dont je parle c'est que

-OH-> = -OA-> + -OB-> + -OC->

et je ne l'utilise pas...mais bon tant pis !
merci pour voitre aide !

[shokin]

Pour démontrer que deux points (en plus, ils te sont définis clairement) sont confondus, tu as le droit d'aller dans les deux sens.

Oups... attention, ya un truc qui cloche :

la donnée :

Soit H le point du plan tel que
(vecteur)OH=(vecteur)OA+(vecte ur)OB+(vecteur)OC.
Montrer que les hauteurs du triangle ABC sont concourantes en H.

et ton énoncé :

Soit H l'intersection des hauteurs de [BC] et de [AC] (...)

A aucun moment, l'on ne sait / a démontré que H était l'intersection des hauteurs.

H n'était donc pas défini clairement - même pas du tout. Donc, tu ne pouvais pas aller dans ce sens.

Shokin

[invitedf1fac06]

(Zut ! lol)
Il faut donc que je montre qu'un point est l'intersection des trois hauteurs ? je l'appelle J par exemple, et j'utilise la même méthode...et je dois montrer que J et H sont confondus en utilisant la relation qui m'est donnée...je me trompe ?

[shokin]

Dans la donnée, H n'est pas défini.

Par contre

(vecteur)OH=(vecteur)OA+(vecte ur)OB+(vecteur)OC.

est bel et bien clairement défini.

Mais, comme tu dis, tu peux définir l'orthocentre de ce triangle en l'appelant par exemple J.

Tu as alors deux points définis : H et J.

L'idée, pour montrer (ou démentir) qu'ils sont confondus est d'exprimer leurs vecteurs respectifs ( -OH-> et -OJ->) en fonction des mêmes unités, en l'occurence des mêmes vecteurs, en l'occurence précise des vecteurs -OA-> , -OB-> et -OC-> ).

Si tous deux obtiennent le même résultat, H et J sont confondus (équivalents).

Shokin

[invitedf1fac06]

J'essaye de montrer que -OH-> = -OJ->... mais pas moyen d'exprimer -OJ-> en fonction de -OA->, -OB->, et -OC->... y a-t-il une propriété de J que je pourrai utiliser, car là, je bloque vraiment...merci !

[shokin]

Relis mon message (message #18 de cette discussion).

Shokin

[martini_bird]

Salut,

Bonjour ! voilà, je voulais savoir comment on pouvait montrer que les médiatrices des cotés d'un triangles étaient concourantes en un point, avec ABC le triangle.

Soit , et les médiatrices des segments [BC], [AC] et [AB] respectivement et soit O l'intersection des droites et . Montrons que .

Par définition de la médiatrice, OA=OB car .
De même, OA=OC car .
Par conséquent OB=OC et donc .

Les médiatrices étant distinctes, elles sont concourantes en O. CQFD.

Question : pourquoi trouze messages pour un truc niveau 4ème ?

Cordialement.

[shokin]

Question : pourquoi trouze messages pour un truc niveau 4ème ?

Dans le message 12, elle a posté une nouvelle question dans le même chapitre.

Shokin

[martini_bird]

Dans le message 12, elle a posté une nouvelle question dans le même chapitre.

Shokin

Ah merci, je me disais bien que j'avais dû louper quelque chose...

Bonne fin de soirée !