Complétude et indénombrabilité

[inviteeac53e14]

Bonjour à tous!
Voilà la démonstration de l'indénombrabilité de qu'un professeur nous a donnée il y a quelques mois :

On raisonne par l'absurde et on suppose que

est dénombrable.
Dès lors, il existe une suite d'éléments

telle que
.
Notons pour tout n entier naturel :
.

Dès lors, on peut écrire que :


On obtient une absurdité (1<= 1/2) et donc [0;1[ est indénombrable.
D'où la conclusion voulue.

Ce qui me dérange dans cette démonstration, c'est l'utilisation de l'intégrale de Riemann. La construction de cette intégrale sur R que j'ai apprise nécessite un passage à la limite qui ne fonctionne que parce que R est complet. Or j'ai l'impression que la complétude implique l'indénombrabilité. Est-ce que je me trompe ? Si ce n'est pas le cas, on tourne un peu en rond dans cette démonstration, non ? Si c'est la cas, auriez-vous un exemple d'un espace vectoriel complet dénombrable ?

Merci de vos réponses.
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[invite4793db90]

Salut,

la dénombrabilité et la complétude sont des notions bien disjointes : la première concerne les ensembles et leurs cardinaux, l'autre les espaces métriques. Or il suffit de considérer Z muni de la métrique induite par R pour disposer d'un espace métrique dénombrable.

Pour ce qui est des espaces vectoriels métriques, je pense qu'en prenant un corps fini (pourquoi pas Z/2Z ?) muni d'une métrique ad hoc, son complété ne devrait pas être bien gros.

Cordialement.

PS :

La construction de cette intégrale sur R que j'ai apprise nécessite un passage à la limite qui ne fonctionne que parce que R est complet

Note qu'ici la limite (l'intégrale) est donnée a priori ce qui, en effet, n'est rarement le cas en général.

[inviteeac53e14]

Pour ce qui est des espaces vectoriels métriques, je pense qu'en prenant un corps fini (pourquoi pas Z/2Z ?) muni d'une métrique ad hoc, son complété ne devrait pas être bien gros.

Oui tout à fait. Je n'y avait pas du tout pensé.

Merci.

[Médiat]

Ce qui me dérange dans cette démonstration

L'existence de la mesure de Lebesgues sur [0 ; 1[ doit être suffisante, mais dans ce cas on peut faire plus simple puisque l'union dénombrable d'ensembles de mesure nulle est de mesure nulle (l'intervalle [0 ; 1[ de mesure 1 serait donc aussi de mesure 0 (comme union de chacun de ses éléments)).

[A voir en vidéo sur Futura]

[inviteeac53e14]

Mais dans ce cas il y a bien une faille dans la démonstration. Parce que si on suppose que [0;1[ est dénombrable alors écrire que sa mesure est égale à 1 est absurde : en écrivant cela, ne suppose-t-on pas déjà que l'intervalle est indénombrable ?

[Médiat]

Mais dans ce cas il y a bien une faille dans la démonstration. Parce que si on suppose que [0;1[ est dénombrable alors écrire que sa mesure est égale à 1 est absurde : en écrivant cela, ne suppose-t-on pas déjà que l'intervalle est indénombrable ?

C'est le principe de la démonstration par l'absurde : si [0;1[ est dénombrable alors il doit être à la fois de mesure 1 (définition de la mesure) et de mesure 0 (propriété des unions dénombrables).

Ce qu'il faudrait vérifier, c'est que la démonstration de l'existence de la mesure de Lebesgue ne repose pas sur la non dénombrabilité de .

[inviteeac53e14]

C'est le principe de la démonstration par l'absurde : si [0;1[ est dénombrable alors il doit être à la fois de mesure 1 (définition de la mesure) et de mesure 0 (propriété des unions dénombrables).

Ce qu'il faudrait vérifier, c'est que la démonstration de l'existence de la mesure de Lebesgue ne repose pas sur la non dénombrabilité de .

Ah... d'accord. Je n'avais pas tout à fait compris ton avant-dernière intervention. Mais là j'ai saisi. En effet, si la démonstration de l'existence de la mesure de Lebesgue ne repose pas sur la non dénombrabilité de alors c'est gagné. Du coup la démonstration est encore plus courte.
Du coup, il faut que j'étudie de plus près la mesure de Lebesgue (je suis en vacances jusqu'en octobre, cela tombe bien ).

Merci beaucoup pour toutes ces précisions.

[spi100]

Sinon pour montrer que R n'est pas dénombrable, il y a plus direct avec la démonstration classique de la diagonale de Cantor http://fr.wikipedia.org/wiki/Argumen...nale_de_Cantor

[Médiat]

Sinon pour montrer que R n'est pas dénombrable, il y a plus direct avec la démonstration classique de la diagonale de Cantor http://fr.wikipedia.org/wiki/Argumen...nale_de_Cantor

Ce problème a déjà été évoqué plusieurs fois (là : http://forums.futura-sciences.com/thread158805.html par exemple), mais j'avais compris que le problème de Bloud n'était pas d'avoir une démonstration, mais plutôt d'avoir une démonstration basée sur la notion de mesure (sinon, une solution ne faisant appel qu'aux notions de base de la théorie des ensembles aura forcément ma préférence ).

[spi100]

Ce problème a déjà été évoqué plusieurs fois (là : http://forums.futura-sciences.com/thread158805.html par exemple), mais j'avais compris que le problème de Bloud n'était pas d'avoir une démonstration, mais plutôt d'avoir une démonstration basée sur la notion de mesure (sinon, une solution ne faisant appel qu'aux notions de base de la théorie des ensembles aura forcément ma préférence ).

Oui, j'ai compris la même chose que toi, mais peut être que Bloud ne connait pas la démonstration direct, je faisais ma remarque dans ce cas.

[invité576543]

Mais y-a-t-il vraiment besoin de la mesure de Lebesgue pour cette démonstration?

Ne peut-on pas directement parler de la somme des longueurs des intervalles?

Si une union finie d'intervalles recouvre un intervalle I, la somme des longueurs des intervalles doit être supérieure à la longueur de I, non? Y-a-t-il une difficulté quelconque à passer à la limite, et dire par exemple que si I = union(Jn), n parcourant |N, alors pour tout epsilon, il existe N tel que la somme des longueurs de J0 à JN est plus grande que longueur(I)-epsilon?

Cordialement,

[inviteeac53e14]

Oui, j'ai compris la même chose que toi, mais peut être que Bloud ne connait pas la démonstration direct, je faisais ma remarque dans ce cas.

Oui merci pour l'intention. Mais je connaissais déjà la démonstration par la diagonale de Cantor.

[Médiat]

Ne peut-on pas directement parler de la somme des longueurs des intervalles?

L'avantage de la mesure de Lebesgue c'est qu'elle assure que la réponse à ta question suivante est oui.

Y-a-t-il une difficulté quelconque à passer à la limite, et dire par exemple que si I = union(Jn), n parcourant |N, alors pour tout epsilon, il existe N tel que la somme des longueurs de J0 à JN est plus grande que longueur(I)-epsilon?

Comme ceci est faux pour un nombre non dénombrable d'intervalles, il doit y avoir quelques chose à faire avec soin (peut-être est-ce assez simple, mais il faut le faire).

[invité576543]

Comme ceci est faux pour un nombre non dénombrable d'intervalles, il doit y avoir quelques chose à faire avec soin (peut-être est-ce assez simple, mais il faut le faire).

Mais dans la démo, le nombre d'intervalles est dénombrable par hypothèse, non?

Cordialement,

[Médiat]

Mais dans la démo, le nombre d'intervalles est dénombrable par hypothèse, non?

Tout à fait, ce que je voulais dire c'est que la démonstration pour une union finie est triviale, pour une union infinie non dénombrable le résultat est faux, et que pour le dénombrable, certes, c'est vrai, mais il faut le démontrer (démonstration faite si on utilise la mesure de Lebesgue)