bonjour à tous,
on sait qu'un espace de banach est un espace vectoriel normé complet ie toute suite de cauchy de cet espace converge
ma question ne tient pas dans la definition de la complétude mais plus sur l'intéret à travailler dans un espace complet
je sais que ds un espace complet on a pas besoin de connaitre la limite de la suite pour savoir si elle converge mais il y a sans doute d'autres propriétés que j'ignore...
vous en savez surement plus que moi...
amicalement
jameso
Re : complétude
C'est un bon cadre pour les divers théorèmes du point fixe.
Et comme tu dis pour l'application du critère de Cauchy pour vérifier des convergences de suites ou de séries.
C'est tout ce dont je me souviens.
Y'a plein d'intérêt à travailler dans des espaces complets.
Par exemple, toute série absolument convergente y est convergente (cool non ?). La "réciproque" est vraie c'est à dire que si toute série absolument convergente est convergente alors l'espace est de Banach.
Par exemple, un espace complet est de Baire (cf post précédent).
.....
Voilà : le théorème de Baire permet de démontrer le théorème de Banach-Steinhaus qui est assez fondamental quand on veut faire de l'analyse fonctionnelle.
merci pour ces précisions intéressantes;
j'avais pu lire je ne sais plus trop oû que dans un espace pas complet il y avait des "sorties multiples,un peu partout"
je ne sais pas si je suis très clair mais y-a-t-il un moyen "intuitif" de comprendre la notion de complétude ?
j'ai bien aimé la réponse "intuitive" de µµtt sur le sujet : topologie sur R .est-il possible d'en faire autant avec la complétude?
amicalement
jameso
Les mathématiciens sont un peu sadiques mais en l'occurence le mot "complet" a un sens intuitif. Un ensemble pas complet a des "fuites" de partout.
Q n'est pas complet : une suite de rationnels qui converge vers un irrationnel est de Cauchy mais ne converge pas dans Q. Q est incomplet, "mité" de partout.
Une suite de Cauchy c'est une suite qui se "tasse" de plus en plus. Intuitivement, elle doit bien converger vers un truc. Si l'espace est pas complet, au sens commun, pas de bol ça converge pas ou plutôt ailleurs que dans l'ensemble (on peut complèter tout espace métrique c'est à dire le mettre dans un espace complet dans lequel en plus il est dense. C'est un façon de construire R à partir de Q).
Pour finir, la notion de complétude est une notion purement métrique c'est à dire que ça dépend de la métrique choisie et pas de la topologie. Un espace muni d'une métrique peut être complet mais pas munie d'une autre même si les deux métriques définissent la même topologie (les mêmes ouverts ....).
Pas de panique, il y a un exemple très simple pour comprendre :
On considère R_ (R barre) muni de d(x,y) = |f(x)-f(y)|, avec f(x) = x/(1+|x|), f(-oo)=-1, f(+oo)=+1. C'est une distance sur R_ donc sur R.
Exo : R n'est pas complet pour cette distance.
J'arrête là car après je finirai par croire que j'aurais dû faire prof. Quelle horreur
On peut plus modifier son message après 5 minutes, mais c'est absurde ce truc
J'aurais bien aimé corriger quelques typos et complèter l'exo : montrer que les deux distances définissent sur R la même topologie.
Visualiser la complétude d'un ensemble, c'est un peu comme visualiser la continuité d'une fonction.
C'est une espace sans "trous"
merci de ta réponse; au fait comment visualises-tu la continuité d'une fonction?
jameso
A+
C'est facile, je visualise tous les ouverts de F, et tous les ouverts de E, et comme f est continue si et seulement si l'image réciproque des ouverts de F sont des ouverts de E....
Non en fait, je sais pas, c'est intuitif, tu imagines un truc sans trou, ou sans trop de trous...
Bon,
f(p/q)=1/q
f(x dans R-Q)=x
est continue en tout irationnel, et pourtant il y'a des trous partout, mais c'est assez intuitif malgré tout comme continuité je trouve (surtout si on retourne le graphe de f de 90°, je trouve ca plus parlant...)
