Récurrence vicieuse
Voici une tentative illicite pour démontrer par récurrence que pour n entiers quelconquesil existe un unique entier naturel d tel que
Ecriture de l'hypothèse à démontrer:
Au rang n=1, on a naturellement
Montrons l'unicité:
Si
On suppose que
De même,
Par conséquent la proposition est démontrée pour tout n.
Trouver la faille dans la démonstration. Cracks s'abstenir au moins dans un premier temps.
J'ai dans l'idée que le deuxième d (d° ?), il dépend un peu trop de la variable libre a(n+1) ....
C'est d', LaTex fait les primes à hauteur des genous, on dirait.
M'enfin sans lui, je n'aurais pas pu proposer l'exo.
Qu'est-ce que tu veux dire par d' dépend trop de
Je n'ai pas bien compris si tu as ou non la solution, mais si tu l'as, attends un peu, il m' a fallu 1 heure pour taper le message.
Je ne sais pas pour la preuve (j'en suis encore au café, je ne l'ai donc pas lueEnvoyé par doryphore
Voici une tentative illicite pour démontrer par récurrence que pour n entiers quelconques. C'est juste le fait que
Re : Récurrence vicieuse
Oui, quand on utilise comme outils les idéaux cette preuve est complètement obsolète.
Par contre la preuve est fausse, j'en suis assez persuadé et je pense savoir pourquoi.
En fait il n'y a même pas besoin d'idéaux, il suffit de montrer que les sous-groupes propres de
Possible : je ne l'ai toujours pas lue (mais je vais m'y mettre quand j'aurais fini la patachiée de trucs que j'ai à faire !) D'ici là je pense que l'un d'entre vous aura trouvé
Amicalement,
Stephen.
Tu as vraiment vraiment le droit utiliser a(n+1)Qu'est-ce que tu veux dire par d' dépend trop de? C'est une variable que apparaît dans un quantificateur, c'est pas une constante ou une donnée ....
Je n'oserais pas être trop affirmatif, mais je crois bien que tu fais fausse routeTu as vraiment vraiment le droit utiliser a(n+1)
J'ai supposé que pour toute famille de n éléments de
Maintenant, je vérifie que c'est vrai au rang n+1, donc je prends à présent une famille de n+1 entiers et je cherche à démontrer l'existence et l'unicité d'un pcgd positif de cette famille. Pour cela j'utilise l'hypothèse de récurrence qui est une hypothèse sur le nombre d'éléments de ma famille à deux reprises.
Rien de choquant à première vue.
La vérité est ailleurs...
Re : Récurrence vicieuse
Ah oui, tiens. Mais je pense que toute démonstration de l'existence et de l'unicité du pgcd se ramène à cette division euclidienne.En fait il n'y a même pas besoin d'idéaux, il suffit de montrer que les sous-groupes propres de
Alors que ma démonstration semble être en mesure de se passer de cet argument.
Je dis ça au cas où vous croiriez que ma démonstration est bonne.
Salut à tous, voilà je pense que l'erreur se situe ici :
A mon avis, "l'erreur" vient de la manipulation des kZ, comme s'il s'agissait d'entiers (alors que ce sont des ensembles d'entiers).
Ce qui est écrit ici est équivalent à la formule :
Alors que l'hypothèse de récurrence ne donne que :
Et (2) n'implique pas (1) à cause de l'unicité imposée sur d.
Re : Récurrence vicieuse
Raté !!!
Le couple
C'est encore plus vicieux que cela. Si personne n'a trouvé ce soir, je donne un indice décisif.
L'erreur est là, non?Montrons l'unicité:
Si
d=1 ça marche bien aussi, quelque soit a1?
Je vérifie et je reviens.
Oui c'est ça!!
Re : Récurrence vicieuse
Et non,
On a toujours
Bien tenté quand même.
je suis peut-être têtu, mais:
l'hypothèse de récurrence au rang 1 est
"pour a1 entier, il existe un unique d tel que pour tout relatif y, il existe un relatif x tel que a1*y=d*x "
si d=1, il suffit de prendre x=a1*y et ça marche, non?
donc si a1 différent de 1, pas unicité...
ou alors je suis à côté de la plaque....
Et puis ça:
C'est l'hypothèse de récurrence au rang 2!! On n'a pas le droit de l'utiliser!!
De même,
Re : Récurrence vicieuse
Initialisation: tu regardes ce qui se passe quand n=1.
Soit a un entier quelconque. Pour te faire plaisir, prenons a=1.
Existe-t-il un unique d entier positif tel que
Oui, d=1 convient. Est-il unique ?
A toi de voir, mais n'oublie pas que c'est pour tout y.
C'est d qui se détermine en fonction de ta famille d'entiers et non le contraire. Ton explication n'est donc pas très convaincante.
YES!!!C'est l'hypothèse de récurrence au rang 2!! On n'a pas le droit de l'utiliser!!
L'hérédité fonctionne parfaitement pour passer de n à n+1 tant que n est supérieur ou égal à 2.
Le rang 1 était vérifié, et on pouvait passer de n'importe quel rang au suivant sauf du rang 1 au rang 2 car la vérification de l'hérédité nécessite a priori la validité au rang 2. Donc tout se cassait la g...
Donc pour compléter cette démonstration, il faut démontrer qu'elle est vraie au rang 2.
Ce qui est nettement moins trivial. On peut utiliser par exemple l'algorithme d'Euclide pour déterminer d, d'où les divisions euclidiennes citées plus haut.
Ouais, ouais, et pourtant je suis nul en maths!!
Mais mon intellect supra-exceptionnel vous a encore tous surpassé. Mouahahahahaha!!!!!
j'ai gagné quoi? dis doryphore, j'ai gagné quoi?
Re : Récurrence vicieuse
Tu as le droit de démontrer que que la proposition est vraie au rang 2.
Chouette, hein !!!
Bien vu pour l'hypothèse de rang 2, effectivement on ne peut pas l'utiliser... Mais je maintiens ma remarque, la démonstration reste fausse même si on démontre le rang 2, à cause de la différence entre (1) et (2).
Mmh, je n'en suis pas si sûr... Es-tu sûr que tu peux démontrer rigoureusement (1) à partir de (2) ?. L'unicité ne concerne pas y1 ou y2, mais d. Et dans (1) c'est cette unicité sur d qu'il faut démontrer. Un bref calcul sur un exemple oùLe couple
Par l'absurde, supposons que (1) soit vraie.
rappel : (1) est
Prenons alors
(*)
et d est l'unique entier vérifiant (*).
On peut alors en déduire :
On a alors :
(**)
(j'ai posé
D'après (*) et (**), par unicité sur d, on a alors d = d+1. Ce qui est impossible.
Donc (1) est fausse.
Re : Récurrence vicieuse
Tu as parfaitement raison.
Je n'ai pas le droit de dire que le d qui vérifie:
Je m'excuse de ne pas avoir prêter suffisammant attention à ce que tu me disais.
Heureusement, cette unicité n'est pas utile à la démonstration.
Seule compte l'existence du d.
Nous avons donc deux gagnants.
La prochaine fois, je posterai mes DM de maths, ya pleins de démonstrations foireuses dedans aussi....
Après réflexion, je ne crois pas que la remarque d'aleph0 vaille, je m'explique:
y2 n'est autre que x(n+1) dans la relation (1).
C'est en le renommant seulement à droite que nait la confusion.
Pour qu'on puisse dire qu'on a un "d", il faut que ce soit x(n+1) à droite de l'égalité, or z2 n'est pas x(n+1)....
En effet, dans (1) en soustrayant
on retrouve l'hypothèse de récurrence au rang n.
Mais pas dans l'expression avec z1 et z2.
Tu trouves un d (en l'occurrence d+1) certes, mais il ne vérifie pas l'hypothèse de récurrence au rang n.
En fait, à la place d'écrire:
Il y a une petite nuance entre les deux que je n'avais pas perçue tout de suite.
Ce que j'ai ecrit, c'est simplement une démonstration que (1) est fausse, indépendamment de l'hypothèse de récurrence. J'ai donnée cette preuve, pour mettre en evidence que (2)(qui est l'hypothèse de récurrence pour p=n) et (1) ne disent pas du tout la même chose. (ceci se voit bien sur la quantification existentielle sur y1 et y2)
Je ne vois pas pourquoi, dans (1), y2 est égal à
Oui, c'est vrai, si on souhaite juste démontrer :
Pour tout
Alors la démonstration marche (on enlève les unicité sur d pour toutes les formules).
Tu aurais donc pu ecrire :
et en déduire :
puis utiliser l'hypothèse au rang 2(préalablement démontrée) (sans unicité non plus) et obtenir le rang n+1 :
En revanche, je ne saurais pas démontrer "élémentairement" :
Pour tout
Ca y est, j'ai pigé ton truc aleph-0!!
je suis désolé, j'ai mis le temps....
mais ça y est j'ai compris et je suis d'accord!!
La meilleure façon de résumer ce fil est
.............................. .............................. .............................. ........................Vive la physique!!
Oui en fait comme tu le dis doryphore ça marche bien même avec l'unicité...En fait, à la place d'écrire:
Il y a une petite nuance entre les deux que je n'avais pas perçue tout de suite.
C'était juste une erreur d'écriture qui ne porte pas à conséquence sur la suite du raisonnement.
Bien vu comme récurrence vicieuse !
tu as imaginé le piège ou tu l'as vu quelque part (devoirs, kholle ?) (sans être indiscret)
Re : Récurrence vicieuse
En fait, c'est en tentant de faire cette démonstration que j'ai produit celle-ci.
J'ai tout de suite senti qu'il y avait un malaise, que la démonstration était un peu creuse. Et surtout, elle n'arrivait pas à me convaincre que c'était vrai au rang 2.
J'ai comaté pendant un bon quart d'heure avant de trouver la faille du raisonnement.
Comme l'erreur était relativement subtile, je l'ai soumis ici, en espérant que cela intéresse certains d'entre vous.
Ta remarque aura permis de rendre encore plus rigoureuse cette démonstration.
Merci.
Il est fort ce dory-phore !!
