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exo sympatique sur un carré



  1. #1
    papijo45

    exo sympatique sur un carré


    ------

    un petit exo sympathique de mon prof de meca en angleterre. je bachote a trouver une reponse simple d'esprit aidez moi svp:

    un carré de coté a

    trois des quatre sommets sont reliés à un point par des valeurs respectives de 5; 4 et 1

    trouver l'aire du carré



    le dessin n'est pas a l'echelle attention...

    une simple methode mathematique est souhaité

    bonne chance

    -----

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  4. #2
    GuYem

    Re : exo sympatique sur un carré

    Salut,

    Une première idée me vient : tracer la diagonale.

    En écrivant des relations sur les angles, en utilisant les longueurs données, et en utilisant le fait que tu as à faire à un carré, tu dois arriver à coincer la longueur de cette diagonale.
    Bravo jolie Ln, tu as trouvé : l'armée de l'air c'est là où on peut te tenir par la main.

  5. #3
    azt

    Re : exo sympatique sur un carré

    Bonsoir,
    Avec pythagore et un système a 3 inconnues, on y arrive très bien.
    Il y a peut-être une astuce pour faire apparaitre dès le début le facteur ?
    Nous sommes toujours de la taille de l'univers que nous découvrons. [Frédérick Tristan]

  6. #4
    leg

    Re : exo sympatique sur un carré

    Citation Envoyé par azt Voir le message
    Bonsoir,
    Avec pythagore et un système a 3 inconnues, on y arrive très bien.
    Il y a peut-être une astuce pour faire apparaitre dès le début le facteur ?
    autrement dit il faut calculer la hauteur h du triangle 1,4 et A; pour obtenir deux triangles rectangles ?

  7. A voir en vidéo sur Futura
  8. #5
    edpiste

    Re : exo sympatique sur un carré

    je oense que azt a utilisé comme variables supplémentaires les hauteurs des triangles 14A et 45A (issues du point d'intersection de 1 4 et 5)

  9. #6
    papijo45

    Re : exo sympatique sur un carré

    j'ai essayé la règle des sinus et je me retrouve avec trop d'inconnu...

    j'ai aussi essayé avec pythagore mais la encore je me retrouve avec trop d'inconnues...je dois surement mal choisir mes triangles pour l'appliquer

    quels triangles utilises tu pour retrouver le racine de 17?

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  11. #7
    invite986312212
    Invité

    Re : exo sympatique sur un carré

    il existe une solution triviale avec le point distingué en-dehors du carré, A=3 et le point en question dans le prolongement d'un côté, à distance 1 du sommet.

  12. #8
    edpiste

    Re : exo sympatique sur un carré

    Citation Envoyé par ambrosio Voir le message
    il existe une solution triviale avec le point distingué en-dehors du carré, A=3 et le point en question dans le prolongement d'un côté, à distance 1 du sommet.
    L'aire est-elle unique ?

  13. #9
    papijo45

    Re : exo sympatique sur un carré

    l'aire est unique car le problème s'applique a un carré et tu ne peux pas modifier les segments qui partent des sommets.

    sinon personne peut me donner les triangles sur lesquels je peux appliquer pythagore. Est ce qu'il faut prouver que le triangle 14A est rectangle?

  14. #10
    ericcc

    Re : exo sympatique sur un carré

    Si on trace les hauteurs issues du point et qu'on appelle h1 celle qui rejoint le point au côté supérieur, et h2celle qui rejoint le côté droit, on voit apparaître quatre triangles rectangles qui donnent 3 équations à 3 inconnues quand on leur applique pythagore :

    (A-h1)²+h2²=25
    h1²+h2²=16
    (A-h2)²+h1²=1

    Ensuite il n'y a plus qu'à résoudre mais je n'ai pas trouvé de ruse. Je laisse les courageux finir

  15. #11
    invité576543
    Invité

    Re : exo sympatique sur un carré

    Citation Envoyé par ericcc Voir le message

    (A-h1)²+h2²=25
    h1²+h2²=16
    (A-h2)²+h1²=1

    Ensuite il n'y a plus qu'à résoudre mais je n'ai pas trouvé de ruse. Je laisse les courageux finir
    A²-2Ah1 = 9
    A²-2Ah2 = -15

    (A²-9)² + (A²+15)² = 16 (2A)² équation du second degré en A²

    Cordialement,

  16. #12
    edpiste

    Re : exo sympatique sur un carré

    Citation Envoyé par papijo45 Voir le message
    l'aire est unique car le problème s'applique a un carré et tu ne peux pas modifier les segments qui partent des sommets.
    Ce n'est pas parce que les longueurs des segments sont fixées que les segments eux-même le sont. L'unicité n'a donc rien d'évident, d'ailleurs l'exemple de ambrosio doit montrer que ce n'est sans doute pas le cas.

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  18. #13
    papijo45

    Re : exo sympatique sur un carré

    merci du coup de pouce

    en fait j'avai deja ces trois equations mais avec une inconnue en plus...mais qui pouvait s'exprimer en fonction d'une autre inconnue qui forcement donne 3 equations 3 inconnues (et plus 4 )

  19. #14
    ericcc

    Re : exo sympatique sur un carré

    Citation Envoyé par mmy Voir le message
    A²-2Ah1 = 9
    A²-2Ah2 = -15

    (A²-9)² + (A²+15)² = 16 (2A)² équation du second degré en A²

    Cordialement,
    Oui j'ai la même chose et je trouve des beurk

  20. #15
    xxxxxxxx

    Re : exo sympatique sur un carré

    Citation Envoyé par ericcc Voir le message
    Oui j'ai la même chose et je trouve des beurk
    oups me serais je trompé je trouve 2 racines :

    A² = 17

    A² = 9

  21. #16
    ericcc

    Re : exo sympatique sur un carré

    Oui, au temps pour moi. Il y a bien deux solutions pour l'aire du carré : 9 et 17.

  22. #17
    invite986312212
    Invité

    Re : exo sympatique sur un carré

    et maintenant, que se passe-t-il si le point n'est pas dans le plan du carré. Supposons le carré dans le plan (x,y), ses côtés parallèles à l'axe des x et des y respectivement, un sommet fixé en (0,0,0) et supposons qu'on ait fixé de quels sommets partent les segments de longueur 1,4,5. Quel est le lieu des solutions? c'est je pense une courbe dont on connaît les 2 points d'intersection avec le plan (x,y), qui est symétrique par rapport à ce plan, mais ensuite? est-ce un cercle?

  23. #18
    invite986312212
    Invité

    Re : exo sympatique sur un carré

    ajout: quid si c'est le centre du carré qui est fixé?

    je relève les copies demain matin

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  25. #19
    leg

    Re : exo sympatique sur un carré

    Citation Envoyé par xxxxxxxx Voir le message
    oups me serais je trompé je trouve 2 racines :

    A² = 17

    A² = 9
    salut ,il y a quand même quelque chose de curieux
    mmi donne:
    A²-2Ah1 = 9 si A² = 9 ,
    2Ah1=0 ou 9 dans ce cas A²=18
    mais:
    A² - 2Ah2 =-15
    alors on peut dire que 2Ah2=33 du fait que la différence entre les deux équations est de 24 ;
    d'où 24+9=33 donc si A²=18
    18 - 33=-15
    attendons le relevé des copies par ambrosio ....

  26. #20
    leg

    Re : exo sympatique sur un carré

    Citation Envoyé par leg Voir le message
    d'où 24+9=33 donc si A²=18
    18 - 33=-15
    :
    suite: il est évident que ce résultat est faux
    car A² + A² = z² donc z = 6 ce qui n'est pas possible d'aprés le plan, la diagonnal du carré est forcément < 6

    mmi à arrondi les valeurs ?

    il faut calculer les angles..

  27. #21
    ericcc

    Re : exo sympatique sur un carré

    Citation Envoyé par leg Voir le message
    salut ,il y a quand même quelque chose de curieux
    mmi donne:
    A²-2Ah1 = 9 si A² = 9 ,
    2Ah1=0 ou 9 dans ce cas A²=18
    mais:
    A² - 2Ah2 =-15
    alors on peut dire que 2Ah2=33 du fait que la différence entre les deux équations est de 24 ;
    d'où 24+9=33 donc si A²=18
    18 - 33=-15
    attendons le relevé des copies par ambrosio ....
    Si A²=9, h1=0 et h2=4 il n'y a pas de pb. Le point est sur un côté

  28. #22
    invité576543
    Invité

    Re : exo sympatique sur un carré

    Citation Envoyé par leg Voir le message
    suite: il est évident que ce résultat est faux
    car A² + A² = z² donc z = 6 ce qui n'est pas possible d'aprés le plan, la diagonnal du carré est forcément < 6
    Le point peut être en dehors du carré.

    mmi à arrondi les valeurs ?
    Je me suis contenté de prendre les équations de ericc et virer deux inconnues... Rien arrondi...

    Mais 17 et 9 ne sont pas solutions de (A²-9)² + (A²+15)² = 16 (2A)²

    (8)²+(32)² <> 16(34)² sans avoir besoin de calculer

    et

    0 + 24² <>16(18)²

    Cordialement,

  29. #23
    manimal

    Re : exo sympatique sur un carré

    Bonsoir à tous
    En rejoignant l angle gauche du carré avec le sommet des trois triangles il vient un quatrième triangle
    On a donc quatre triangles et donc 4 hauteurs comme inconnues plus le coté A
    J ai obtenu six équations à 5 inconnues
    h1+h2+h3+h4=2A
    h1*h2+h2*h3+h3*h4+h1*h4=A²
    (h3)²+(h4)²=10
    (h1)²+(h4)²=1
    (h2)²+(h3)²=25
    (h1)²+(h2)²=16
    Mais pour résoudre c est une paire de manche
    Cordialement

  30. #24
    xxxxxxxx

    Re : exo sympatique sur un carré

    Citation Envoyé par mmy Voir le message
    (8)²+(32)² <> 16(34)² sans avoir besoin de calculer

    et

    0 + 24² <>16(18)²

    Cordialement,
    Bonsoir,

    avec , ça marche tout de suite mieux

    Bonne soirée

  31. Publicité
  32. #25
    invité576543
    Invité

    Re : exo sympatique sur un carré

    Citation Envoyé par xxxxxxxx Voir le message
    avec , ça marche tout de suite mieux
    Autant pour moi!

    Cordialement,

  33. #26
    leg

    Re : exo sympatique sur un carré

    Citation Envoyé par ericcc Voir le message
    Si A²=9, h1=0 et h2=4 il n'y a pas de pb. Le point est sur un côté
    salut ericcc
    mauvaise hypothèse
    car dans ce cas tu as la solution A = 3
    et la diagonale du carré = sqrt de 18 ce qui est impossible! car elle est > 5 et < 6

  34. #27
    leg

    Re : exo sympatique sur un carré

    suite
    jusqu'a preuve du contraire le point est à l'interieur du carré ! sinon que vient faire cette question:
    trouver l'aire du carré de côté A , avec comme indication des mesures interieur au carré , permettant de calculer les différents angles, pour trouver A.

    si la hauteur h1 des triangles rectangle:
    1;h1, a' et:
    4,h1 et a''
    avec: h1 = 0 alors A = a'+a'' = 5 comme tu le supposes, le point est sur le côté du carré c'est un angle plat et la perspective de la figure géométrique est fausse.

  35. #28
    manimal

    Re : exo sympatique sur un carré

    Salut j ai enfin trouvé
    On a les trois équations suivantes :
    (h1)²+(h2)²=16
    (A-h1)²+(h2)²=25
    (h1)²+(A-h2)²=1
    En additionnant 2 et 3 il vient
    2A²+32-2(h1+h2)A=26
    A²-(h1+h2)A+3=0
    On a h1 et h2 solutions de cette équation du second degré car la somme des deux racines S=h1+h2=-(-(h1+h2)) et le produit des deux racines P=h1h2=3
    De plus on a (h1)²+(h2)²=16
    (h1+h2)²-2h1h2=16
    (h1+h1)=racine(16+2h1h2)
    h1+h2=racine(22)
    Il vient
    h2=(racine(22)+racine(10))/2
    et h1=(racine(22)-racine(10))/2
    On sait que h3+h1=A
    Donc h3²=25-(h2)²
    h3=racine(17-racine(55))
    A=(racine(22)-racine(10))/2 + racine(17-racine(55))
    On trouve A environ=3.86 et la diagonale environ=5.459
    L aire est A²
    Cordialement
    Manimal

  36. #29
    manimal

    Re : exo sympatique sur un carré

    Je me suis planté à la fin
    En fait on a l équation suivante :
    A²-racine(22)A+3=0
    D'ou A=(racine(22)+racine(10))/2
    L aire est A²=8+racine(55)
    Cordialement

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