un petit exo sympathique de mon prof de meca en angleterre. je bachote a trouver une reponse simple d'esprit aidez moi svp:
un carré de coté a
trois des quatre sommets sont reliés à un point par des valeurs respectives de 5; 4 et 1
trouver l'aire du carré
le dessin n'est pas a l'echelle attention...
une simple methode mathematique est souhaité
bonne chance
Salut,
Une première idée me vient : tracer la diagonale.
En écrivant des relations sur les angles, en utilisant les longueurs données, et en utilisant le fait que tu as à faire à un carré, tu dois arriver à coincer la longueur de cette diagonale.
Bonsoir,
Avec pythagore et un système a 3 inconnues, on y arrive très bien.
Il y a peut-être une astuce pour faire apparaitre dès le début le facteur?
Nous sommes toujours de la taille de l'univers que nous découvrons. [Frédérick Tristan]
autrement dit il faut calculer la hauteur h du triangle 1,4 et A; pour obtenir deux triangles rectangles ?Envoyé par azt
Bonsoir,
Avec pythagore et un système a 3 inconnues, on y arrive très bien.
Il y a peut-être une astuce pour faire apparaitre dès le début le facteur
je oense que azt a utilisé comme variables supplémentaires les hauteurs des triangles 14A et 45A (issues du point d'intersection de 1 4 et 5)
j'ai essayé la règle des sinus et je me retrouve avec trop d'inconnu...
j'ai aussi essayé avec pythagore mais la encore je me retrouve avec trop d'inconnues...je dois surement mal choisir mes triangles pour l'appliquer
quels triangles utilises tu pour retrouver le racine de 17?
il existe une solution triviale avec le point distingué en-dehors du carré, A=3 et le point en question dans le prolongement d'un côté, à distance 1 du sommet.
L'aire est-elle unique ?
l'aire est unique car le problème s'applique a un carré et tu ne peux pas modifier les segments qui partent des sommets.
sinon personne peut me donner les triangles sur lesquels je peux appliquer pythagore. Est ce qu'il faut prouver que le triangle 14A est rectangle?
Si on trace les hauteurs issues du point et qu'on appelle h1 celle qui rejoint le point au côté supérieur, et h2celle qui rejoint le côté droit, on voit apparaître quatre triangles rectangles qui donnent 3 équations à 3 inconnues quand on leur applique pythagore :
(A-h1)²+h2²=25
h1²+h2²=16
(A-h2)²+h1²=1
Ensuite il n'y a plus qu'à résoudre mais je n'ai pas trouvé de ruse. Je laisse les courageux finir
A²-2Ah1 = 9
A²-2Ah2 = -15
(A²-9)² + (A²+15)² = 16 (2A)² équation du second degré en A²
Cordialement,
Ce n'est pas parce que les longueurs des segments sont fixées que les segments eux-même le sont. L'unicité n'a donc rien d'évident, d'ailleurs l'exemple de ambrosio doit montrer que ce n'est sans doute pas le cas.
merci du coup de pouce
en fait j'avai deja ces trois equations mais avec une inconnue en plus...mais qui pouvait s'exprimer en fonction d'une autre inconnue qui forcement donne 3 equations 3 inconnues (et plus 4)
Oui j'ai la même chose et je trouve des
oups me serais je trompé je trouve 2 racines :Oui j'ai la même chose et je trouve des
A² = 17
A² = 9
Oui, au temps pour moi. Il y a bien deux solutions pour l'aire du carré : 9 et 17.
et maintenant, que se passe-t-il si le point n'est pas dans le plan du carré. Supposons le carré dans le plan (x,y), ses côtés parallèles à l'axe des x et des y respectivement, un sommet fixé en (0,0,0) et supposons qu'on ait fixé de quels sommets partent les segments de longueur 1,4,5. Quel est le lieu des solutions? c'est je pense une courbe dont on connaît les 2 points d'intersection avec le plan (x,y), qui est symétrique par rapport à ce plan, mais ensuite? est-ce un cercle?
ajout: quid si c'est le centre du carré qui est fixé?
je relève les copies demain matin
salut ,il y a quand même quelque chose de curieux
mmi donne:
A²-2Ah1 = 9 si A² = 9 ,
2Ah1=0 ou 9 dans ce cas A²=18
mais:
A² - 2Ah2 =-15
alors on peut dire que 2Ah2=33 du fait que la différence entre les deux équations est de 24 ;
d'où 24+9=33 donc si A²=18
18 - 33=-15
attendons le relevé des copies par ambrosio ....
suite: il est évident que ce résultat est faux
car A² + A² = z² donc z = 6 ce qui n'est pas possible d'aprés le plan, la diagonnal du carré est forcément < 6
mmi à arrondi les valeurs?
il faut calculer les angles..
Si A²=9, h1=0 et h2=4 il n'y a pas de pb. Le point est sur un côtésalut ,il y a quand même quelque chose de curieux
mmi donne:
A²-2Ah1 = 9 si A² = 9 ,
2Ah1=0 ou 9 dans ce cas A²=18
mais:
A² - 2Ah2 =-15
alors on peut dire que 2Ah2=33 du fait que la différence entre les deux équations est de 24 ;
d'où 24+9=33 donc si A²=18
18 - 33=-15
attendons le relevé des copies par ambrosio ....
Le point peut être en dehors du carré.
Je me suis contenté de prendre les équations de ericc et virer deux inconnues... Rien arrondi...mmi à arrondi les valeurs
Mais 17 et 9 ne sont pas solutions de (A²-9)² + (A²+15)² = 16 (2A)²
(8)²+(32)² <> 16(34)² sans avoir besoin de calculer
et
0 + 24² <>16(18)²
Cordialement,
Bonsoir à tous
En rejoignant l angle gauche du carré avec le sommet des trois triangles il vient un quatrième triangle
On a donc quatre triangles et donc 4 hauteurs comme inconnues plus le coté A
J ai obtenu six équations à 5 inconnues
h1+h2+h3+h4=2A
h1*h2+h2*h3+h3*h4+h1*h4=A²
(h3)²+(h4)²=10
(h1)²+(h4)²=1
(h2)²+(h3)²=25
(h1)²+(h2)²=16
Mais pour résoudre c est une paire de manche
Cordialement
Bonsoir,
avec
Bonne soirée
Autant pour moi!avec
Cordialement,
salut ericcc
mauvaise hypothèse
car dans ce cas tu as la solution A = 3
et la diagonale du carré = sqrt de 18 ce qui est impossible! car elle est > 5 et < 6
suite
jusqu'a preuve du contraire le point est à l'interieur du carré ! sinon que vient faire cette question:
trouver l'aire du carré de côté A , avec comme indication des mesures interieur au carré , permettant de calculer les différents angles, pour trouver A.
si la hauteur h1 des triangles rectangle:
1;h1, a' et:
4,h1 et a''
avec: h1 = 0 alors A = a'+a'' = 5 comme tu le supposes, le point est sur le côté du carré
Salut j ai enfin trouvé
On a les trois équations suivantes :
(h1)²+(h2)²=16
(A-h1)²+(h2)²=25
(h1)²+(A-h2)²=1
En additionnant 2 et 3 il vient
2A²+32-2(h1+h2)A=26
A²-(h1+h2)A+3=0
On a h1 et h2 solutions de cette équation du second degré car la somme des deux racines S=h1+h2=-(-(h1+h2)) et le produit des deux racines P=h1h2=3
De plus on a (h1)²+(h2)²=16
(h1+h2)²-2h1h2=16
(h1+h1)=racine(16+2h1h2)
h1+h2=racine(22)
Il vient
h2=(racine(22)+racine(10))/2
et h1=(racine(22)-racine(10))/2
On sait que h3+h1=A
Donc h3²=25-(h2)²
h3=racine(17-racine(55))
A=(racine(22)-racine(10))/2 + racine(17-racine(55))
On trouve A environ=3.86 et la diagonale environ=5.459
L aire est A²
Cordialement
Manimal
Je me suis planté à la fin
En fait on a l équation suivante :
A²-racine(22)A+3=0
D'ou A=(racine(22)+racine(10))/2
L aire est A²=8+racine(55)
Cordialement
