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une application qui pose problème



  1. #1
    Wahou

    une application qui pose problème


    ------

    Bonsoir a tous, voila mon problème

    On a une application f continue vérifiant la condition "carré" :
    pour tous x et y dans R, f(x+y)f(x-y)=[f(x)f(y)]² "carré"

    Jusque là on a montré que
    f(0)=1, 0 ou -1
    f(0)=0 <=> f=application constante nulle
    si f s'annule pour une valeur a, alors f est l'application constante nulle.
    si f ne s'annulle en aucun point de R, f est de signe constant sur R

    Il me reste à faire :
    1)justifier que -f est également solution du problème "carré". ça me parait évident mais je ne vois pas comment le justifier

    2)montrer que f est paire. j'ai essayé en exprimant f(x) en fonction de f(x+y), f(x-y) et f(y) mais ça n'a pas aboutit.

    3)montrer que si g est une fonction continue vérifiant aussi la condition "carré" et si f(x) est équivalent a g(x) en + l'infini, alors f=g. Indication : on pourra considérer un y dans R fixé et faire tendre x vers + l'infini dans "carré".

    4) on donne h(x)=ln(f(x)). donner la relation entre h(x+y), h(x-y), h(x) et h(y). bien sur il suffirait de metre des exponentielles partout mais ça na pas trop d'interet je trouve.

    et puis pour la fin ça ira je pense. Celle qu'il m'interesse surtout c'est la 3, enfin les autres aussi mais surtout elle.
    merci d'avance

    -----

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  4. #2
    invite67423456789

    Re : une application qui pose problème

    de jolies equations fonctionnelles
    tas essayé de tripoter tout ca a laide d exponentielles ?

  5. #3
    Wahou

    Re : une application qui pose problème

    Pour la 4 ? ba avec des expo ça donne la meme relation qu'au début sauf que la il y a les expo :
    exp(h(x+y)).exp(h(x-y))=[exp(h(x)).exp(h(y))]²
    ça me parait trop simple, je pense pas que ce soit ça qu'on attende mais au pire j'ai tjr ça a mettre...mais l'interet est assez limité

  6. #4
    Ledescat

    Re : une application qui pose problème

    Pour montrer qu'elle est paire,prend x=0 et n'oublie pas les valeurs possibles de f(0)
    Cogito ergo sum.

  7. A voir en vidéo sur Futura
  8. #5
    ericcc

    Re : une application qui pose problème

    Citation Envoyé par Wahou Voir le message
    Pour la 4 ? ba avec des expo ça donne la meme relation qu'au début sauf que la il y a les expo :
    exp(h(x+y)).exp(h(x-y))=[exp(h(x)).exp(h(y))]²
    ça me parait trop simple, je pense pas que ce soit ça qu'on attende mais au pire j'ai tjr ça a mettre...mais l'interet est assez limité
    En fait tu dois prendre le ln de la relation "carré" qui va te donner une relation simple sur h(x).

  9. #6
    Wahou

    Re : une application qui pose problème

    ok ça marche, merci

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