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Problème d'intégrale à 3 variables



  1. #1
    dorkerien

    Problème d'intégrale à 3 variables


    ------

    Bonjour j'ai un problème concernant une intégrale demandée durant un cours:

    intégrer sur y allalnt de - l'infini à + l'infini la fonction suivante:
    f(x,y,z)= 1/racine(x²+y²+z²)

    le problème étant que pour intégrer bien sûr il nous manque un 2y quelquepart pour obtenir une expression du type u'/u^n...

    merci pour tous les aventuriers qui oseront l'aventure

    -----

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  4. #2
    arkitect

    Re : Problème d'intégrale à 3 variables

    L'expression du bas (racine de somme de carrés) peut s'interpréter comme une distance dans un repère cartésien en appliquant le théorème de Pythagore.

    Le carré permet de se limiter au cas positif * 2

    On cherche donc le résultat de intégrale de 2/r pour r variant sur [A; +l'infini] avec A réel positif

    Je vous laisse conclure...

  5. #3
    Coincoin

    Re : Problème d'intégrale à 3 variables

    Salut,
    Le carré permet de se limiter au cas positif * 2

    On cherche donc le résultat de intégrale de 2/r pour r variant sur [A; +l'infini] avec A réel positif
    Je ne comprends pas d'où tu sors ton 2 et ton A... Et puis, quand on passe en sphérique, il y a le jacobien qui sort.

    De toute façon, si on intègre sur tout l'espace, ça diverge.

    Dorkerien, as-tu vu les intégrales en coordonnées sphériques ? Sur quel domaine intègres-tu ?
    Encore une victoire de Canard !

  6. #4
    ericcc

    Re : Problème d'intégrale à 3 variables

    Si je lis bien l'énoncé il ne faut intégrer que sur y, les deux autres sont des paramètres.
    Donc on est ramené à une intégrale du type 1/rac(y²+a²), en posant a²=x²+z².
    Par contre j'ai bien peur qu'elle ne diverge ?

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  8. #5
    dorkerien

    Re : Problème d'intégrale à 3 variables

    Merci a vous de vous etre penché sur la question.

    Alors pour faire simple il s'agit d'un problème de géophysique gravitaire (gravimétrie) où on essaye de calculer l'impact que joue un volume de densité différente sur la verticale de la pesanteur.
    Donc on a comme donnée que le laplacien est nul et donc qu'il n'y a en réalité que 2 degré de liberté pour les 3 variables.
    Ensuite, les intégrales sphériques ne me posent pas de problème mais apparemment ce n'est pas par là que le prof est passé : il donne
    G=intégrale sur la surface S de
    densité (intégrale allant de -oo à +oo de
    (dy/(rac caré((x-xo)²+(y-yo)²+(z-zo)²)))
    )dS.
    puis il nous dit que l'on aboutit a
    G=intégrale sur la surface S de
    densité (ln(rac caré((x-xo)²+..+(z-zo)²)))dS.

    densité est un terme constant.

    Donc le problème est que je n'arrive pas à faire le passage. Et apparemement on est toujours en coordonnées euclidiennes.

    Merci de votre aide.

  9. #6
    dorkerien

    Re : Problème d'intégrale à 3 variables

    puis il nous dit que l'on aboutit à
    G=intégrale sur la surface S de
    densité (ln(rac caré((x-xo)²+..+(z-zo)²)))dS.

    densité est un terme constant.


    Erratum: le résultat qu'on doit trouver est:
    G=-2 [intégrale sur la surface S * densité (ln(rac carré((x-xo)²+..+(z-zo)²)))dS].

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  11. #7
    dorkerien

    Re : Problème d'intégrale à 3 variables

    Bon finalement le prof a donné la solution qui est vraiment todrue

    Alors on arrive bien a intégrer en cartésien cette fonction qui en finalité a une primitive du type
    ln(y + racine carrée(y²+constante²))

    cependant en faisant cette intégrale de -oo à +oo on trouve que cette intégrale est égale à +oo. C'est là que la physique intervient et permet de retrancher les termes infinis à l'infini retrouvé par l'intégration:

    on arrive alors a la solution de type finie grâce à cet artifice (un changement de variable dans les potentiels).

    Si besoin de plus d'explications n'hésitez pas. Merci de vous être penchés sur le problème assez retord

  12. #8
    ericcc

    Re : Problème d'intégrale à 3 variables

    C'est bien ce que je disais...

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