Fonction zeta de Riemann

**Seirios** · 31/12/2009, 09h18

Bonjour,

La même question a été posée ici : http://forum.prepas.org/viewtopic.ph...22993&p=282090.

**SchliesseB** · 31/12/2009, 09h30

c'est la même chose avec $\text{[math]}$ sur [-1,1[

si j'utilise cette formule en dehors de son domaine de validité, je tombe sur des truc bizarre.

c'est encore (à peu près) la même chose avec
$\text{[math]}$ pour x>0,pour x négatif, cette formule ne marche pas.

la on à une fonction défini sur $\text{[math]}$ que l'on peut prolonger (si on la voit comme une fonction complexe),il se trouve que le prolongement est unique (si analytique) et donc qu'on écrit que c'est la même fonction.

**Armen92** · 31/12/2009, 17h10

Envoyé par coco888

$\text{[math]}$

Ramanujan a aussi trouvé ce résultat étrange, par des moyens que nul n'a élucidé (il était autodidacte !).
Cela lui a valu ce commentaire acerbe de Hill : ``M. Ramanujan est tombé dans l’abîme du sujet, ô combien ardu, des séries divergentes”
La réponse à votre question a été dnnée plus haut : la série $\text{[math]}$ ne représente la fonction de Riemann que dans le demi-plan $\text{[math]}$ .
Bonne année !

A voir en vidéo sur Futura · Aujourd'hui

invite793ba186 · 03/01/2010, 01h56

Merci pour vos réponses

Est-ce que ca veut dire qu'on peut dire que 1+1+1+... diverge dans le corps des réels mais converge et vaut -1/2 si on regarde cette somme dans le corps des complexes?
Bonne année 2010 à tous!

**Armen92** · 03/01/2010, 09h46

Envoyé par coco888

Merci pour vos réponses

Est-ce que ca veut dire qu'on peut dire que 1+1+1+... diverge dans le corps des réels mais converge et vaut -1/2 si on regarde cette somme dans le corps des complexes?
Bonne année 2010 à tous!

Non, car la série convergeant quel que soit $\text{[math]}$ si $\text{[math]}$ , elle converge pour tous les $\text{[math]}$ réels tels que $\text{[math]}$ .

invite793ba186 · 03/01/2010, 12h12

Je ne comprends pas ta réponse Armen92 car en faisant le prolongement analytique de zeta on a une série convergente pour z=0 et z=-1.
Comment est-ce que tu comprends ce résultat toi? ca ne te perturbe pas?

**God's Breath** · 03/01/2010, 12h17

Envoyé par coco888

en faisant le prolongement analytique de zeta on a une série convergente pour z=0 et z=-1.

Le prolongement analytique de $\text{[math]}$ n'est pas donné par la série $\text{[math]}$ lorsque $\text{[math]}$ .

Un question simple : on définit $\text{[math]}$ pour $\text{[math]}$ ; quel est le prolongement analytique pour $\text{[math]}$ ?

invite793ba186 · 03/01/2010, 12h45

Envoyé par God's Breath

Un question simple : on définit $\text{[math]}$ pour $\text{[math]}$ ; quel est le prolongement analytique pour $\text{[math]}$ ?

c'est $\text{[math]}$ , non? mais je ne vois pas où tu veux en venir...

**God's Breath** · 03/01/2010, 13h12

Je veux simplement rappeler que la relation $\text{[math]}$ est valable seulement pour $\text{[math]}$ positif, et que l'explicitation de la valeur d'une fonction analytique dépend du domaine sur lequel on se place.

La relation $\text{[math]}$ est valable seulement pour $\text{[math]}$ . Le fait que $\text{[math]}$ soit analytique sur $\text{[math]}$ , et que $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ soient définis, ne rend pas la série convergente pour $\text{[math]}$ ou $\text{[math]}$ .

**Armen92** · 03/01/2010, 13h15

Envoyé par coco888

Je ne comprends pas ta réponse Armen92 car en faisant le prolongement analytique de zeta on a une série convergente pour z=0 et z=-1.
Comment est-ce que tu comprends ce résultat toi? ca ne te perturbe pas?

Le prolongement analytique peut s'effectuer de bien des façons ; l'une d'entre elles est d'utiliser la relation fonctionnelle de Riemann (1859) :
$\text{[math]}$ ,
où nulle série n'apparaît. La définition première de $\text{[math]}$ exige de se placer à droite de $\text{[math]}$ .
Non, non, rien ne me perturbe !!!

**Armen92** · 03/01/2010, 13h22

Envoyé par God's Breath

Je veux simplement rappeler que la relation $\text{[math]}$ est valable seulement pour $\text{[math]}$ positif, et que l'explicitation de la valeur d'une fonction analytique dépend du domaine sur lequel on se place.

L'égalité $\text{[math]}$ peut se prolonger au plan complexe en $\text{[math]}$ à condition de définir sans ambiguïté la fonction multiforme $\text{[math]}$ . Cela fait, tout est parfaitement défini puisque l'on sait ce qu'est $\text{[math]}$ quand $\text{[math]}$ .

invite793ba186 · 03/01/2010, 13h27

Envoyé par God's Breath

Je veux simplement rappeler que la relation $\text{[math]}$ est valable seulement pour $\text{[math]}$ positif, et que l'explicitation de la valeur d'une fonction analytique dépend du domaine sur lequel on se place.

La relation $\text{[math]}$ est valable seulement pour $\text{[math]}$ . Le fait que $\text{[math]}$ soit analytique sur $\text{[math]}$ , et que $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ soient définis, ne rend pas la série convergente pour $\text{[math]}$ ou $\text{[math]}$ .

Mais on a le droit d'écrire que $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ , non?
Et le fait d'assigner la valeur -1/12 à la somme 1+2+3+4+... est utilisé pour la renormalisation, n'est-ce pas?

**God's Breath** · 03/01/2010, 13h38

Envoyé par coco888

Mais on a le droit d'écrire que $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ , non?

On a le droit de l'écrire (comme on a le droit de rouler à 180 km/h sur l'autoroute...), mais ça reste faux.

De la même façon que, si je pose $\text{[math]}$ , j'ai le droit d'écrire $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ ...

**Armen92** · 03/01/2010, 13h49

Envoyé par coco888

Et le fait d'assigner la valeur -1/12 à la somme 1+2+3+4+... est utilisé pour la renormalisation, n'est-ce pas?

Certes, c'est la " $\text{[math]}$ -regularization" standard, qui repose (implicitement) sur le prolongement analytique. A partir du moment où on sait que la fonction de Riemann se prolonge, on est fondé à écrire des égalités dont le caractère symbolique ne doit toutefois pas échapper.

Fonction zeta de Riemann