Morphisme représenté par une matrice

[invite06cec980]

salut à tous;

f un morphisme de E de Dim=p vers F de Dim=n
A une matrice de IM_n;p(IK) représantant f (pour deux bases de E et F)
soit M de IM_n;p(IK)
est ce qu on a l'equivalence suivante

rg(M)=rg(A) si et ssi M représente f

merci d avance
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[invitec1ddcf27]

Bonjour,

une implication est vraie, si M représente f, alors elle a le même rang que A. Le rang est indépendant du choix des bases.
La réciproque est clairement fausse. Il suffit de prendre deux matrices de rang 1 dans R^3 qui ne sont pas 'semblables' (on passe pas de l'une a l'autre par changement de base)