espace hermitien

[cleanmen]

Bonjour, je bloque sur un exercice d'"application" du cours:

E hermitien, soit u dans L(E)
Montrer qu'il existe u et w dans L(E) tq u=exp(v)°exp(w)=u

(le ° étant la composée)

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Cet exercice précède un théorème qui dit que les endomorphismes anti -hermitiens sont diagonalisables ac des vp qui sont des imaginaires pures (sauf pour 0_E).


je n'ai pas beaucoup d'idée faisant intervenir l'exponentielle, en fait j'ai pensé que pour me servir du théo, il fallait décomposer u comme somme de v (autoadjoint) et w (anti hermitien), mais je n'arive pas à faire intervenir l'exponentielle d'un côté tout en gardant u de l'autre...

Pourriez vous me dire par où commencer?ie: si je suis sur la bonne voie?
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[KerLannais]

Salut,

Peut-être est-ce une réponse beaucoup trop tardive mais bon

Ton énoncé est étrange. Il me semble que si v est un endomorphisme alors exp(v) est un endomorphisme inversible. En effet, il est clair que v commute avec -v et alors par propriété de l'exponentielle on a
exp(v)°exp(-v)=exp(v-v)=exp(0)=Id
On a alors pour v et w des endomorphismes
exp(v)°exp(w) inversible d'inverse exp(-w)°exp(-v)
et donc si ton énoncé était vrai cela signifierait que tout endomorphisme est inversible. Par exemple, en prenant u=0 on aurait
Id=u°exp(-w)°exp(-v)=0°(exp(-w)°exp(-v))=0
et en écrivant la matrice de Id et de 0 dans n'importe quelle base et en regardant le premier coefficient de chaque matrice on aurait 1=0 ce qui est faux en général

[cleanmen]

bonne remarque :/
Il s'agirait donc de montrer l'égalité pour u dans GL(E).

Je demanderai à mon prof la prochaine fois que je le verrais, soit vendredi, et te tiendrai au courant.

Merci pour ton dévouement!

[cleanmen]

u appartient bien à GL(E). (même si c'était évident, j'ai qd même demandé confirmation à mon prof)

[A voir en vidéo sur Futura]

[KerLannais]

Salut,

Il y a un résultat qui est un classique d'agreg qui dit que l'exponentielle est surjective à partir de là on peut écrire u=exp(v) et en prenant w=id on a le résultat. Mais ce résultat est totalement hors programme de prépa et n'est pas une application directe de ton cours.

Je ne sais pas exactement quelle méthode ton prof attend ni exactement ce qu'il y a dans ton cours. As-tu entendu parlé de décomposition polaire ?
Pour un nombre complexe u non nul (inversible), on peut l'écrire sous forme polaire
u=r exp(ia)=exp(ln(r))exp(ia)=exp( v)exp(w)
avec v=ln(r) et w=ia

l'analogue peut-être fait pour les matrices et donc pour les endomorphismes en dimension finie.

[cleanmen]

oui je ne pense pas que ca soit la méthode à laquelle mon prof faisait allusion, mais elle m'a l'air qd même super bien adapté à cet exo!
je cours me renseigner sur la décomposition polaire, pour mettre au propre la résolution de l'exo (même si tout est déjà fait ^^)!

Merci à toi.

[cleanmen]

c'est bizarre, en tapant décomposition polaire sur google, je tombaquasiment tout le tps sur la décomposition de cartan (en tout cas c'est sous ce nom la que mon prof m'a eneigner l'affaire). ie:
pour tout u dans L(E), il existe O dans O(E) et V dans S⁺⁺(E) tel que U=OV

Peux-tu me donner un lien vers lequel on explique ce que tu m'a dit dans ton post précédent. (je veux dire la généralisation de ce qui marche dans C).
Merci d'avance!

[KerLannais]

par exemple

http://fr.wikipedia.org/wiki/Décomposition_polaire

le paragraphe sur les matrices complexes.