équation différentielle en physique

[naznouz]

Bah voilà un exercice de dynamique de point matériel, mais mon problème c'est plus mathémathique, c'est déjà publié au forum de physique mais j'ai po reçu de réponse, une particule lâché sans vitesse initial, elle est soumise à une force de frottement de l'air f=k.v^2 de sens oposé au mouvement. Oz orienté vers le bas considéré comme galiléen.
1-Écrire l'équation de chute, et la vitesse limite V'.
2-Exprimet la vitesse de ma particule à l'instant t en fonction de,t,V,et g.
3-Quelle est l'expression de la disrance parcourue à l'instant: t en fonction de,g,V',et V.
" on rappel que : 2.a/(a^2-x^2)=1/(a-x) + 1/(a+x) " je ne sais pas pourquoi cette indication...
En effet pour la 1er question j'ai arrivé à trouver d'aprés le PFD et la projection sur Oz que : dV/dt+k.V^2/m=g à la vitesse limite V' on a dV'/dt=0 donc V'^2=m.g/k. Mais je me suis bloqué à la résolution de cette équation différentielle je sais que la méthode de Bernoulli ça marche mais elle est longue.... pourriez vous me proposer une méthode plus pratique??!!.....
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[Jeanpaul]

Il est astucieux de poser u = V/Vlim, ça allège et aussi tau = g/Vlim
On est amené à intégrer une équation du genre (du/dt)/(1-u²) = 1/tau
et c'est là que l'indication est intéressante car elle permet d'intégrer même si on ne connaît pas la fonction arg th(u)

[ericcc]

C'est une équation différentielle à variables séparables : on met tous les u et du d'un coté, et le reste, et dt de l'autre.

[naznouz]

Il est astucieux de poser u = V/Vlim, ça allège et aussi tau = g/Vlim
On est amené à intégrer une équation du genre (du/dt)/(1-u²) = 1/tau
et c'est là que l'indication est intéressante car elle permet d'intégrer même si on ne connaît pas la fonction arg th(u)

Bah j'ai arrivé à du/dt+k.Vlim.U^2/m=tau et je ne sais pas comment arriver à ton équation!!! (du/dt)/(1-u²) = 1/tau...

[A voir en vidéo sur Futura]

[mimo13]

Bonjour

C'est toujours la même histoire.

est solution particulière de ton équation différentielle donc on opte pour le changement de variable pour aboutir à une équation différentielle à variables séparables.

En effet tu as raison, il y a une petite coquille:



Après changement de variable:



En posant :



D'où

Donc .

Cordialement