inverse d'une fonction

[inviteba7208f8]

Bonjour,
Est-ce que vous avez une idée sur la façon de calculer l'inverse d'une fonction ?
Je veux dire par exemple, trouver les zéros d'une fonction ?

J'ai eu une idée pour calculer l'inverse d'une fonction.

Par exemple, pour calculer l'inverse de f(x) = x*H(x) - 2 = x² - 2:
En particulier, 1 zéro de la fonction est : x₀ + Racine_de_( H(x₀)² - f(x₀) ) - H(x₀)
où f(x₀) est un point de f(x) et H(x₀) est un point de la fonction H(x) = x.

Est-ce que cette formule est démontrable ? Est-ce que vous la connaissez ?
Je n'ai rien trouvé sur internet. Pas plus ailleurs.

Aurais-je trouvé une formule magique ?
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[hhh86]

C'est mathématiquement très flou voir incorrect.
Si tu désires trouver l'inverse d'une fonction f, c'est tout simplement la fonction 1/f
Exemple :
Soit f la fonction définie sur IR par f(x)=3x²+2
L'inverse de f est la fonction g définie sur IR par g(x)=1/(3x²+2)

Je pense plutot que tu voulais chercher une application réciproque.
Attention la fonction x |-->x² - 2 est une surjection. En effet sa courbe représentative admet l'axe des ordonnées comme axe de symétrie puisque f est paire. Donc il n'existe pas une fonction réciproque. Néanmoins tu peux t'en sortir en ajoutant une condition comme rechercher l'ensemble des antécédents positifs par la fonction
Illustration :
Soit f la fonction définie sur IR par f(x)=x² - 2
f est une fonction polynome. Elle est donc continue sur IR donc sur [0;+inf[.
Dérivabilité :
f est une fonction polynôme, elle est donc dérivable sur IR donc sur [0;+inf[
On a donc f'(x)=2x
Pour tout x appartenant à ]0;+inf], f'(x)>0 et f'(0)=0 donc f est strictement croissante sur [0;+inf[
Comme f(0)=-2 et lim(x-->+inf)(f(x))=+inf, alors pour tout réel m appartenant à [-2;+inf[, il existe un unique réel a appartenant à [0;+inf[ tel que f(a)=m

Soit g : m |-->a
[-2;+inf[-->[0;+inf[
Donc g(m)=a
Or f(a)=m
<=>a²-2=m
<=>a=√(m+2) comme a appartient à [0;+inf[
Donc g(m)=√(m+2) pour tout m appartenant à [-2;+inf[

[hhh86]

Par contre l'application réciproque est :
A tout x appartenant à [-2;+inf[, on associe √(x+2) et -√(x+2)

[inviteba7208f8]

Bonsoir,
merci de votre réponse.
Désolé pour mon absence de notion élémentaire de mathématiques. J'ai crû entendre que la fonction f^-1 s'appelait "fonction inverse".

Je suis d'accord que la fonction réciproque de f(x) = x² - 2 n'est pas une fonction mais une application sur IR.
Cependant, si l'on définit un intervalle dans lequel la fonction f(x) est strictement croissante ou décroissante alors je pense que la fonction réciproque existe.

[A voir en vidéo sur Futura]

[hhh86]

Par contre l'application réciproque est :
A tout x appartenant à [-2;+inf[, on associe √(x+2) et -√(x+2)

Excusez moi, je ne pensais pas que ce message était passé, c'est une erreure de ma part
On peut aussi définir une réciproque partielle de f de la façon suivante :
Soit g : m |-->a
[-2;+inf[-->]-inf;0]
Donc g(m)=a
Or f(a)=m
<=>a²-2=m
<=>a=-√(m+2) comme a appartient à ]-inf;0]
Donc g(m)=-√(m+2) pour tout m appartenant à [-2;+inf[

[hhh86]

Bonsoir,
merci de votre réponse.
Désolé pour mon absence de notion élémentaire de mathématiques. J'ai crû entendre que la fonction f^-1 s'appelait "fonction inverse".

Je suis d'accord que la fonction réciproque de f(x) = x² - 2 n'est pas une fonction mais une application sur IR.
Cependant, si l'on définit un intervalle dans lequel la fonction f(x) est strictement croissante ou décroissante alors je pense que la fonction réciproque existe.

En effet la réciproque d'une bijection existe

[inviteba7208f8]

Et c'est une bijection...
Parce que si je cherche le point x le plus à droite ou bien le plus à gauche du point x₀ alors je ne trouve qu'un seul et unique point tel que f(x)=0.

[hhh86]

x0 n'est pas un point mais l'abscisse d'un point et je comprends pas trop ce que tu cherches, soit plus explicites

[inviteba7208f8]

oui effectivement, x₀ est l'abscisse du point de la courbe de f.
Je cherche le point x tel que f(x) = 0 et tel que x₀ est à gauche ou à droite du point x.
Ou mieux les points x_i tel que f(x_i) = 0 et tel que le point x₀ est à droite ou à gauche du point x_i.
avec f(x) = xH(x) + C, où C est une constante et H(x) est une fonction quelconque.

[hhh86]

je réfléchis à ton problème, je te donnerais une réponse dans la soirée mais sache que quand tu utilises ou en maths c'est l'union donc tu parles de toute la courbe

[hhh86]

J'abandonne, il y a trop de chose à préciser, c'est extrémement peu rigoureux.

Expliquez plutot comment vous avez trouvé cette formule, on y verra tous plus clair dans l'idée que vous avez voulu exprimer

[inviteba7208f8]

Bonjour,
pour faire suite à ta demande, c'est trop compliqué de t'expliquer comment j'ai trouvé cette formule parce qu'il y a trop d'équations et la saisie dans la petite fenêtre serait un enfer pour moi (avec LaTeX et tout...).
en fait, mon but de départ était de trouver les zéros d'une équation quelconque. Et lorsque j'ai trouvé alors je me suis rendu compte que je pouvais l'étendre à toute la courbe.

Mais, j'ai eu ma réponse. Si j'ai donné cet exemple, c'était à titre d'expérience afin de savoir si cette équation était connue.

[hhh86]

ok très bien alors comment résouds-tu l'équation x^5+7x^4-3x²+8=0 par radicaux ?
Elle est équivalente à x(x^4+7x^3-3x)+8=0
Cela équivaut donc à chercher les zéros de la fonction f telle que pour tout x de IR f(x)=xH(x)+8 avec H(x)=x^4+7x^3-3x

[inviteba7208f8]

Bonjour,
désolé pour ma réponse si tardive.
en fait, mon équation n'est pas unique; il y a plusieurs solutions et malheureusement, je ne sais pas encore laquelle choisir.
Donc, lorsque j'aurais résolu ce point, je pourrais te donner une réponse que j'espère satisfaisante.
A bientôt