Développement limité d'une racine et limite

[invitebca2f49a]

Bonjour à tous ,

Je viens vous demander un peu d'aide pour un exercice qui me pose problème ,j'ai l'impression de tourner en rond .

1)Quelle est la limite quand x tend vers 0 de la fonction exp (cosh x)?Calculer le DL en 0 a l'ordre 4 de cette fonction .

2)Calculer le DL en 0 a l'ordre 4 de exp [racine (1+X²)]

J'ai trouvé :
1)Pour le DL j'arrive à :
exp (cosh x) = exp (1+ X²/2 +X^4/4! +X^4/2!² +X^4E(X) )
j'ai sorti le 1 de l'expression pour que ça tende vers 0 .
Par contre impossible de trouver la limite ...Je me perd

2)En fait je voulais le faire en 2parties ,en commencant par le DL de racine(1+X²) ,mais je ne connais pas la formule du DL pour ça...est-ce-que je peux utiliser celle de racine(1+t) en disant que t=X²,?

Merci de votre aide
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[Jeanpaul]

La limite ne pose pas de problème : ce n'est pas une forme indéterminée.
Pour le développement limité, tu peux déjà remarquer que la fonction étant paire, il n'ya aura pas de terme en x ni en x^3.
Alors, l'astuce est d'écrire f(x) = e. exp[ch(x)-1] car le crochet tend vers zéro.
exp(u) = 1 + u + u²/2 +... (ça suffira)
u = ch(x)-1 = x²/2 + x^4/24 (ça suffira)
Tu remplaces u par son développement en x en ne conservant que les termes de degré 2 et 4

Le second exo est strictement similaire.

[invitebca2f49a]

Merci ,en fait j'ai trouvé pour le 2e ,j'ai posé u=racine (1+X²) - 1 et ça marche .
Merci de votre aide !