Bonsoir,
Dans pas mal de sites, on nous affirme que le chemin le plus court pour rejoindre deux points d'une sphère (genre la terre) est de suivre le grand cercle passant pas ces points.
Je n'ai pas réussi à trouver une démonstration de ce propos, et je n'ai rien trouvé sur google (faut dire que je ne sais surtout pas trop comment chercher ca).
Auriez-vous une idée ou un site qui démontre ce propos?
Merci
Au moins, deux voies possibles pour montrer les géodésiques d'une sphère sont ses grands cercles.
La première est d'avoir suffisamment de connaissances en géométrie (pseudo-)Riemanienne pour effectuer le calcul via, classiquement, par les coefficients de Christoffel, qui se calculent assez facilement pour une sphère.
La seconde, plus longue car basée sur moins de connaissances, est de repartir de la définition de base de la longueur d'une courbe.
Je propose de montrer dans les grandes lignes comment aboutir avec la seconde.
Plan :
1) définition de la longueur par 'segments' brisés. 1er lemme.
2) la longueur de petit arc de grand cercle est une distance d' sur la sphère.
preuve pour la distance d'.
3) preuve pour la distance 'usuelle'.
1) définition de la longueur par 'segments' brisés. 1er lemme.
Définition de la longueur d'une courbe (supposée continue) :
une courbe est une application ccontinue c : [a,b]->E où [a,b] est un intervalle fermé de R et E un espace muni d'une distance d.
La longueur de c est la borne supérieure des sommes d(c(x0),c(X1))+...+d(x(n-1),c(xn)) où a=x0<=x1<=...<=xn=b.
Cette longueur est éventuellement infinie. (A remarquer que les points c(xi) sont, par construction, sur la courbe).
Cette définition n'est pas nécessairement très aisée à manipuler sous cette forme. Mais, on peut montrer ce qui suit.
Si on appelle partition x0, x1, ..., xn une partition P de [a,b] et finesse' de P, que l'on note e(P), le nombre e(P)=max(x(i+1)-x(i)) et on note L'(P) la somme (c(x0),c(X1))+...+d(x(n-1),c(xn)) alors :
Esquisse de preuve :soit une suite de partition (Pm) de [a,b] telle que e(Pm) tend vers 0 alors L'(Pm) tend vers la longueur de c L(c).
par définition de borne supérieure, on a L'(Pm)<=L(c) pour tout m donc lim sup (L'(Pm))<=L(c).
Soit P'=(x'0=a, x'1,...,x'N=b) une partition quelconque de [a,b], on montre que lim inf(L'(Pm))>=L'(P').
On y parvient en montrant que pour tout d>0 et M assez grand L'(Pm)>=L'(P')-d (T).
Ceci est en effet suffisant car on a alors lim inf(Pm)>=L'(P')-d pour tout d>0 et donc en 'faisant tendre' d vers 0 on obtient
lim inf '(Pm)>=L'(P').
Or, les points de P' sont en nombre fini N et
la courbe c étant continue et [a,b] compact il existe e>0 tel que abs(x-y)<e implique (c(x),c(y))<d/2N.
Soit m suffisamment grand tel que e(Pm)<inf(e,e(P')/2).
Il existe alors pour tout i compris entre 0 et N il existe un point x(fm(i)) de la partition de Pm tel que abs(x(fm(i))-x'(i))<=e(Pm). On peut prendre x(fm(0))=a et x(fm(N))=b.
On montre aisément que les x(fm(i)) sont rangés en ordre croissant et ensuite :
L'(Pm)>=d(c(x(fm(0))), c(x(fm(1)))+...+d(c(x(fm(i))) , c(x(fm(i+1))) ) +...
L'(Pm)>=[d(a,c(x'(1))) - d(c(x'(1)) , c(x(fm(1))] + [d(c(x'(i)) , c(x'(i+1))) )- d(c(x'(i)) , c(x(fm(i)))) - d(c(x'(i+1)) , c(x(fm(i+1))))] + ...
L'(Pm)>=d(a,c(x'(1))) +...+ d(c(x'(i)) , c(x'(i+1))) -(2(N-1)+2) x (d/2N)
L'(Pm)>=L'(P')-d. Ce qui finit l'esquisse de preuve.
La longueur d'une courbe dépend de la distance dont on munit l'espace E, ici la sphère. On va montrer le résultat pour les deux distances les plus classiques (et plus précisément que ces deux longueurs coïncident).
2) preuve pour la distance d'
On commence par montrer que d' est bien une distance.
Soit un triplet de points A, B et C sur une sphère. On veut montrer que arc(AC)<=arc(AB)+arc(BC) (inégalité notée I) où arc désigne la longueur du petit arc reliant deux points le long d'un grand cercle. (d'(A,B)=arc(AB))
On considère les mesures d'angles (mes) au centre O (en radian) : On a arc(AC)=R.mes(AOC)...
On considère le plan (OAC) si A et C ne sont pas diamétralement opposés (l'autre cas est trivial
B est sur un grand cercle passant par A et C et on a trivialement arc(AC)=arc(AB)+arc(BC)).
On projette orthogonalement B sur ce plan en B'. L'angle AOB'est de mesure plus petite plus petit que l'angle AOB (il suffit de considérer le plan orthogonal à (OA) passant par B pour se rendre compte que B et B' se projettent orthogonalement sur le même point de (OA) mais avc OB>=OB')
De même l'angle B'OC est de mesure plus petite que celle de l'angle BOC.
Or, comme AOC est au plus un angle plan on a mes(AOC)<=mes(AOB')+mes(B'OC) ce qui finit de montrer l'inégalité (I).
Les deux autres axiomes d'une distance sont trivialement vérifiés donc d'=arc est une distance.
Maintenant, une récurrence immédiate montre que pour tout (n+1)-uplet de points P0=A, ...Pi... Pn on a : arc(P0P1)+arc(P1P2)+...+arc(P( n-1)Pn).
On a donc pour tout chemin continu c et toute partition P de [a,b], la longueur associée (par d') à P est au moins aussi grande que d'(A,B)=arc(AB). De là on en déduit que la longueur calculée par les arcs de c est au moins aussi grande que arc(AB).
Donc tout chemin reliant deux points A et B est au moins aussi long qu'un grand cercle (et en améliorant un peu la démonstration précédente on montre que l'inégalité est stricte si le lieu des points ne coïncide pas le lieu formé par l'arc de grand cercle).
3) preuve pour la distance 'usuelle'.
Pour cela, on montre que la longueur calculée par la longueur d'arc de grand cercle et celle calculée par la distance induite d par le plongement de la sphère dans un espace euclidien de dimension 3.
En effet, si l'angle entre deux points A et B est égal à a radian alors d(M,N)=2R.sin(a/2) alors que la longueur d'arc est égale à R.a.
Or, pour a>0 2R.sin(a/2)>=2R(a/2-a²/2)=Ra(1-a).
Deux possibilités :
la courbe a une longueur infinie pour la distance d alors la longueur calculée avec des arcs étant supérieur pour toutes partitions est elle aussi infinie.
La courbe a une longueur finie pour d. Soit une suite de partition Pm tel que l'écart tend vers 0. On a longueur = [somme des Ra(i)(1-a(i))]<=L(c) avec max des a(i) qui tend vers 0 (car la distance entre les points d'une partititon tend vers 0, donc le max des sin(a/2) tend vers 0 et le max des a tend vers 0).
La somme des Ra(i) est donc majorée indépendamment des partitions Pm par un nombre k.
D'où la somme des longueurs = somme des Ra(i) - somme des Ra(i)², le second terme est majoré en valeur absolue par k.max des a(i) ce qui tend vers 0 quand m tend vers +infini.
La différence entre les deux longueurs associées aux partitions tend donc vers 0 quand m tend vers +infini. Ces deux suites tendant chacune vers la longueur de c calculée avec d pour l'une, d' pour l'autre, ces deux longueurs coïncident.
Le résultat précédent pour d' est donc (désormais trivialement) pour d.
En espérant ne pas avoir été trop confus.
Merci pour de ces éléments de démonstration qui montrent que les géodésiques de la sphère sont les grands cercles : les différentes voies, le plan de la version "néophyte" et ces esquisses de démonstration !
Pour aller plus loin, quelle(s) référence(s) recommanderiez-vous ?
Bonjour,
Peut-être Geometry of Surfaces de Stillwell.
If your method does not solve the problem, change the problem.
