Stabilité de Newmark?

[invite9c7554e3]

Bonjour tous,

Je vous écris car j'essaie de comprendre les conditions de stabilité de la methode de Newmark, j'ai regardé dans de nombreux documents mais je n'y trouve pas se que je recherche.






En faite j'ai trouvé un récapitulatif de sa stabilité mais sans les détails de calculs, en fouillant un peut je suis arrivé à trouver quelques éléments [voir piece jointe]
mais pas assez détaillés pour que je comprenne quelques chose.

Pourriez vous m'expliquer comment on procède pour étudier cette stabilité à partir des éléments de la piece jointe. (je ne comprends meme pas la mise sous forme matricielle car il y a un parametre alpha qui n'y etait pas au depart).

J'espere que vous pourre m'aider......
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[invite9c7554e3]

aparemment la stabilité d'un schema depent des valeurs propres de la matrice qui relie x{i+1} a x{I} ?

mais si c'est bien cela pourquoi?

[inviteea028771]

Je ne connais pas cette méthode de newmark, mais en général tu as une relation

Et donc tu as "en gros" , ce qui ne converge vers la bonne valeur que si .

Ce genre de conditions va poser des conditions sur la norme de M, et donc sur son rayon spectral, qui va poser des conditions sur les valeurs propres de M

[invite9c7554e3]

Je ne connais pas cette méthode de newmark, mais en général tu as une relation

Et donc tu as "en gros" , ce qui ne converge vers la bonne valeur que si .

Ce genre de conditions va poser des conditions sur la norme de M, et donc sur son rayon spectral, qui va poser des conditions sur les valeurs propres de M

merci beaucoup pour ta reponse!!!

je n'ai pas trop compris cela:

Et donc tu as "en gros" , ce qui ne converge vers la bonne valeur que si .

donc dans la formule de depart cela veut dire que x est egale à b ?

Ensuite pourrais tu me detailler un peu plus quelles genre de conditions cela pose sur la norme de la matrice et qu'es ce un rayon spectrale?


merci de ton aide

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite6f25a1fe]

Le schéma de Newmark est un schéma prédicteur-correcteur. On voit dans tes équations la correction en :

et


Les résultats sur le schéma de Newmark dépendent des valeurs de gamma et beta. Par exemple, l'ordre de la consistance change (2 ou plus si yamma=0.5, 1 sinon)

Idem, le schéma sera conditionnellement ou inconditionnellement stable selon ces valeurs.

Pour résumé, le résultat est :
-inconditionnellement stable si >=>=0.5
-sinon condtionnellement stable sauf si <0.5 ou il est instable.

Ces résultats se montrent en étudiant la stabilité qui n'est autre que regarder si ta suite Xn n'explose pas. L'étude de la stabilité se fait en prenant le second membre à zéro !
On calcule donc un "terme d'amplification" g() qui dépend de tel que . Il y a plusieurs méthode. Norme L² et T.F est assez pratique. Sinon on peut regarder les valeurs propres (pas forcément évident) et s'assurer ainsi que <=1

Dans tous les cas : la stabilité n'a rien à voir avec le fait de converger ! ce sont 2 notions différentes

[invite9c7554e3]

Merci beaucoup de ta reponse!

1°) en faite j'ai un peu du mal avec la stabilité des algo, en faite je n'ai jamais vraiment vu cela en cours mais je m'y interesse en autodidacte du coup j'ai du mal a comprendre la methode générale (pas forcement pour que pour newmark mais en general)

2°) je connais en faite les conditions de stabilité de newmark mais je ne comprends pas pourquoi le faite de regarder une norme ou de faire une TF ou la recherche de valeur propre nous donne une info sur la stabilité

3°) que vu tu dire par la suite ne doit pas "exploser"

[invite6f25a1fe]

Il faut voir le schéma numérique comme un procesus permettant de construire une suite de réels à partir de données (ex : les conditions initiales etc...). Il est donc nécessaire que ce procesus n'amplifie pas les erreurs associées à ces données (ex : erreurs d'arrondis). Concraitement, un schéma non stable va se traduire pas une suite qui va exploser (faire n'importe quoi en gros, diverger ...)

D'un point de vu physique, on peut voir ca comme le fait que le procesus n'apporte "pas trop" d'énergie. C'est pourquoi ca n'a pas de sens de faire la stabilité si on a un terme source dans l'équation. On prend donc le second membre égale à zéro pour la stabilité. Ainsi, un schéma sera stable si l'énergie est bornée par rapport à l'énergie initiale.

Pour cela, on construit une fonction constant par morceaux telle que :
pour x compris en xj et .

La condition de stabilité sera donc : Stable s'il existe une constante C indépendante du pas de temps Dt et du pas Dx tel que <=

Ensuite, le reste est du calcul. On utilise la TF car elle conserve la norme L² et qu'une itération correspondra à une multiplication par le terme d'amplification.

La norme L² est défnie par :

Malheureusement, je ne ferais pas les calculs car c'est trop lourd à faire. Il doit y avoir de la donc sur le net à propos de ca. Il y a peut être (surement) d'autres méthodes, mais je ne suis pas spécialiste des schémas numériques.

P.S : si tu as du mal avec la stabilité, ce qui est normal, c'est pas évident, tu devrais commencer avec des schémas plus simples comme le Euler explicite, voir le Euler implicite, avant de t'attaquer à Newark et autres schémas plus compliqués.

[invite9c7554e3]

Merci beaucoup de tes precisions!!!
c'est tres gentil et j'ai bien compris la philosophie du truc
avec ton aide

je suis désolé mais je n'ai pas bien compris quelques petits truc encore...

Pour cela, on construit une fonction constant par morceaux telle que :
pour x compris en xj et .

je n'ai pas bien compris cette notation pourrais tu me detailler stp se que ca veux dire?

Ensuite, le reste est du calcul. On utilise la TF car elle conserve la norme L² et qu'une itération correspondra à une multiplication par le terme d'amplification.

La norme L² est défnie par :

je ne connais pas se qu'est une norme L² en faite pourquoi il y a l'integrale? on prend la somme de la valeur de la fonction x sur un domaine (lequel? le domaine temporelle) à un instant et on prend la valeur positive.

Malheureusement, je ne ferais pas les calculs car c'est trop lourd à faire. Il doit y avoir de la donc sur le net à propos de ca. Il y a peut être (surement) d'autres méthodes, mais je ne suis pas spécialiste des schémas numériques.

Pour se qui est details cela m'importe peut car c'est plus la methode qui m'interesse et c'est deja tres gentil de m'aider

[invite6f25a1fe]

Ha oui, désolé pour la notation. Pour moi, représente l'approximation de ta solution exacte u au point et à l'instant . j repère l'itération en x, et n l'itération en temps. Omega est l'espace dans lequel varie x (espace que tu discrétises tous les pour former les xj)

La norme L² est en fait une norme 2 sur l'espace des fonctions. Il y a beaucoup de normes. On choisit celle là car en générale les normes 2 ont de bonnes propriétés. Notamment, la T.F conserve cette norme (identité de parseval)

Pour plus d'info, essaye de faire des recherche sur le net sur la "stabilité L² des schémas numériques".

[invite9c7554e3]

merci beaucoup c'est nikel, tu m'as bien aidé je te remercie!