Petit problème sur les espaces vectoriels de dimension finie

[Wrena]

Bonjour, voici mon souci :

J'ai E un espace vectoriel et u un endomorphisme de E.
On travail sur les itérés de u.

j'ai réussit une grande partie de mon exo mais je bloque sur la fin je vous donne tout ce qui me semble important pour la question espérant que le reste de mes résultat ne sera pas utilisé.

On note d= dim[keru^k-1] - dim[Keru^k]
J'ai montrer que d= dim[Imu^k-1] - dim[Imu^k]

Je cherche à montrer que d = dim[ Imu^k-1 inter Keru]

Je pose v les restriction de u de Imu^k-1 dans Imu^k

Je pense qu'il faut appliquer le th du rang à cette application linéaire.

dim Imu^k-1 = dim Kerv + dim Imv

Normalement il y a une formule avec une intersection donnant le noyau (ou l'image ?) d'une restriction mais je ne m'en souvient plus et c'est je pense à cause de cela que je coince.

Du coup un petit coup de pouce serai le bienvenue ^^
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[invited4aa25f8]

Je dis peut être une bétise, la prépa étant loin, mais je crois que c'est la formule de Grassmann qu'il te faut.

[Wrena]

hum si c'est le cas je ne vois pas trop comment l'utiliser, grassman donne la dimension d'une somme, ds ce cas quelle somme dois je considerer ? à Priori Imu^k-1 + Keru

Mais dans ce cas qu'en faire ?

Sinon en cherchant un peu j'ai uen idée mais je suis pas sure, est ce qu'il n'existe pas une formule du type
pour v : E -> F
w : G -> H (H et G 2 sev de E et F)

on a Im w = F inter Ker G ou quelque chose comme cela ?

[invite9cf21bce]

Bonjour.

On note d= dim[keruk-1] - dim[Keruk]

d= dim(ker u^k)- dim(Ker u^k-1), plutôt, non ?

Je pense qu'il faut appliquer le th du rang à cette application linéaire.

dim Imu^k-1 = dim Kerv + dim Imv

C'est bien cette formule qu'il faut utiliser.

Les dimensions des deux espaces de droite seront faciles à exprimer à l'aide de u, une fois que tu auras bien identifié Ker v et Im v.

Souviens-toi que pour tout x Im u^k-1, v(x)=u(x) !

Ker v : c'est l'ensemble des x Im u^k-1 tels que v(x)=0, c'est-à-dire ..?

Im v : c'est l'ensemble des éléments y de Im u^k tels qu'il existe un x Im u^k-1 avec v(x)=y, c'est-à-dire ..?

Taar.

[A voir en vidéo sur Futura]

[Wrena]

-> Déterminons kerv

soit x un élément de Imu^k-1
x est dans Kerv ssi v(x) =0 ssi u(x) =0 ssi x est dans Keru

Je pense que ce raisonnement est faus seul l'implication directe me semble vrai ... que dois je faire ?

-> derterminons Im v
je trouve que Imv = Im u^k
et ça me semble juste

Maiteant si j'applique le th du rang comme ce que j'avais prévu j'aurai besoin que Kerv = Imu^k-1 inter Ker u

est la formule que je cherchais pour les noyau des restriction ou y a t-il une demo que je dois faire ici ?

[invite9cf21bce]

-> Déterminons kerv

soit x un élément de Imu^k-1
x est dans Kerv ssi v(x) =0 ssi u(x) =0 ssi x est dans Keru

Je pense que ce raisonnement est faus seul l'implication directe me semble vrai ... que dois je faire ?

Non, c'est correct. Autrement dit, les éléments de Ker v sont les éléments de Im u^k-1 qui appartiennent à Ker u...!

[Wrena]

désolé pour le retard, merci beaucoup en tous cas de m'avoir aidé j'ai fini par reussir ^^