système masse ressort

[invite3569df15]

salut

dans un système masse ressort la formule est
mx'' + b x' + k x = a cos wt


le corps de masses: m=kg est suspendu à un ressort de raideur k=4N/m subt l'effet d'une force externe de (4cos 2t - 2sin2t)N. si le mouvement se fait dans un milieu oposant une résistance égale et opposée en tout instant à la vitesse du corps, déterminer la réponse de ce système masse-ressort en régime permanent sous la forme A sin(wt + @).

m=2kg
k=4N/m
Fext= 4cos(2t) - 2sin(2t)

quand on dit que: si le mouvement se fait dans un milieu oposant une résistance égale et opposée en tout instant à la vitesse du corps

est-ce que ça veut dire que B = 0?


merci
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[invitebf65f07b]

salut,
non, ca veut justement dire qu'il y a des frottements, c'est à dire b non nul, et positif bien sûr

[invite3569df15]

comment connaitre la valeur de b, alors?

[invite43f8e83d]

Bonsoir,
je ne sais pas si tu l'as remarqué,
mais dans cette équation, les termes sont homogènes à une force, par exemple mx". (avec F=m.Gamma relation de base de la dynamique.)
L'expression Bx' est aussi homogène à une force, c'est la résultante de forces (frottements par ex.) proportionnelles à la vitesse de ton mobile.
B exprime ce rapport de proportionnalité.
Donc, dans ton cas, si la force de frottement est égale à la vitesse (vitesse=x', j'espère que tu le sais car c'est le B A BA de la cinématique), bref dans ton cas, c'est simplissime, tu as B=1.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite3569df15]

donc on se retrouve avec
2x''+4x=4cos 2t - 2sin 2t

x'' + 2x = 2cos 2t - sin 2t
s^2*x+x=(2(s-1)) / ( s^2+4)

x= ( 2(s-1) ) / ( (s²+1) (s²+4 )

x(t) = -2cos(2t)/3 + sin(2t)/3 + 2cos(t) /3 - 2sin(t)/3

si quelqu'un peut confirmer...

si c'est bon, je dois même la réponse en régime permanent sous la forme A sin(wt+@)

[Duke Alchemist]

Salut !

...opposant une résistance égale et opposée en tout instant à la vitesse du corps

Donc, si tu considères ce que t'a dit duduc, ton équation doit s'écrire :
2x" + 1x' + 4x = 4 cos(2t) - 2 sin(2t)

La transformée de Laplace s'écrit alors :
2s²X + sX + 4 = 4(s-1)/(s²+4)
d'où on tire qqch d'inextricable du genre
X = 4(s²-s-5)/[s(2s+1)(s²+4)]...
Bon, tu peux toujours essayer de décomposer en éléments simples mais bon, j'ai un doute sur le résultat... sachant que tu veux quelquehose qui ressemble à X = A (s.cos@ + w.sin@)/(s²+w²) (transformée de Laplace de x(t) = A.sin(w.t+@))

Donc... N'y aurait-il pas un oubli au niveau des conditions initiales ??!
Sinon, sauf erreur de ma part, je ne vois pas comment s'en sortir !

D.A.

[invite3569df15]

avec la description de l'énoncée, je dirais que les conditions initiales sont nulles... mais bon il y a plus expert que moi dans ce domaine sur ce forum


ça me donne



ensuite faut convertir ça ensuite en: a sin(w.t+@))

habituellement on fait

a cos wt + b sin wt = racine(a² + b^2) sin(wt + @)

mais là on a 4 termes...

[invite49c2bd12]

Bonjour

je profite du forum pour lancer une question relativement similaire.

je suis en stage et je dois faire une analyse sur un systeme a 5 degre de liberte de type masse ressort defini ci dessous:

mur – ressort1 – masse1 – ressort2 – masse2 – .... – ressort5 – masse5

j ai ecris les equation modales au masse et je voulai savoir si vous pouviez me confirmer si cela etait juste ou non :

m1x1” + k1x1 + k2(x1-x2) = -m1u”
m2x2” + k2(x2-x1) + k3(x2-x3) = -m2u”
m3x3” + k3(x3-x2) + k4(x3-x4) = -m3u”
m4x4” + k4(x4-x3) + k5(x4-x5) = -m4u”
m5x5” + k5x5 = -m5u”

avec x le deplacement a la masse i
x” l acceleration a la masse i
u” l acceleration au niveau du mur (encastrement)


Merci de votre aide

maxime