ln d'un nombre négatif

[Simontheb]

Bonjour, je travaille en ce moment sur les fonctions de plusieurs variables grâce à un livre (Analyse: Concepts et Contextes, volume 2), et j'en suis au chapitre sur le vecteur gradient.

Dans les exercices, je viens de traiter celui-ci:

"Calculez le taux de variation maximum de f au pont donné et indiquez dans quelle direction il se produit:
et le point est "

Donc je fais le gradient, je calcule sa norme, trouve le bon résultat. Mais je me rend compte que , qui n'existe pas puisque ln n'est pas défini sur .
Ainsi f ne semble pas défini en . Auriez-vous une explication à ce mystère?
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[S321]

Bonsoir.
La fonction f n'est effectivement pas définie en ce point ni même en ses alentours. Demander la direction de plus grande variation en ce point n'a pas de sens.
Soit vous avez mal lu l'énoncé, soit il est faux.

[Simontheb]

J'ai le livre sous les yeux et c'est bien ça. Les auteurs ont donc sans doute oublié un moins quelque part... Merci de ta réponse.

Au fait, maintenant que j'y pense, , donc serait-il possible d'étendre l'ensemble de définition de ln aux réels négatifs en étendant son ensemble images aux nombres complexes? Ainsi, on aurait ...

[Scorp]

Etendre le logarithme aux complexes est très difficile (ce n'est pas le cas de l'exponentielle qui se fait très bien).

Par ln(-1)=i.pi semble une bonne idée. A cela près qu'on pourrait très bien définir ln(-1)=3i.pi etc... (le logarithme complexe est dit multiforme, ce qui est très génant : on peut définir plusieurs antécédant d'un même nombre !)

Enfin, tu remarqueras qu'on ne peut plus avoir les propriétés usuelles du logarithme. Par exemple ln(x²)=2ln(x) car on aurait alors ln( (-1)²)=ln(1)=2.ln(-1)= quoi 0 ou 2i.pi ou ...

Donc utiliser le logarithme est possible, mais demande de faire très attention et de bien connaitre les fonctions complexes (holomorphe, multiforme etc...)

[A voir en vidéo sur Futura]

[Simontheb]

Effectivement, ça parait une bonne idée comme ça mais dès qu'on creuse un peu, on voit que le reste ne suit pas. Merci de ta réponse!

[Armen92]

Etendre le logarithme aux complexes est très difficile (ce n'est pas le cas de l'exponentielle qui se fait très bien).


Enfin, tu remarqueras qu'on ne peut plus avoir les propriétés usuelles du logarithme. Par exemple ln(x²)=2ln(x) car on aurait alors ln( (-1)²)=ln(1)=2.ln(-1)= quoi 0 ou 2i.pi ou ...

Donc utiliser le logarithme est possible, mais demande de faire très attention et de bien connaitre les fonctions complexes (holomorphe, multiforme etc...)

Le log complexe est en effet multiforme, ce qui n'empêche que l'on a toujours les propriétés usuelles du logarithme, par exemple . Il faut juste définir une détermination, s'y tenir et donc se promener sur la surface de Riemann

[SchliesseB]

(le logarithme complexe est dit multiforme, ce qui est très génant : on peut définir plusieurs antécédant d'un même nombre !)

faute de vocabulaire:
le problème n'est pas qu'un nombre est plusieurs antécédents, le problème est qu'un nombre est plusieurs images (tous à 2iPi près)!

[Scorp]

faute de vocabulaire:
le problème n'est pas qu'un nombre est plusieurs antécédents, le problème est qu'un nombre est plusieurs images (tous à 2iPi près)!

Oula oui, j'ai bien craqué sur ce coup là ^^ J'avais justement montré que ln(-1) pouvait tout aussi bien être défini par i.pi que par 3i.pi.

Sinon, je ne suis pas tout à fait d'accord avec Armen92. Certes, et je l'ai d'ailleurs dit, on peut utiliser le logarithme complexe. Mais il me semble qu'on ne peut le faire que sur les complexes privés de la demi-droite des reels négatifs (c'est pourtant là que notre problème se trouvait à la base, cf discussion initiale). Il ne me semble pas (quelque soit la détermination choisie) que l'on puisse définir un logarithme correctement pour les réels négatifs sans perdre certaines propriétés (comme le ln(z²)=2lnz, par exemple pour ln(-1) ? ).

[Armen92]

Il ne me semble pas (quelque soit la détermination choisie) que l'on puisse définir un logarithme correctement pour les réels négatifs sans perdre certaines propriétés (comme le ln(z²)=2lnz, par exemple pour ln(-1) ? ).

Si, c'est pour cela que Riemann a inventé ses surfaces. Une fois choisie une détermination, par exemple celle qui coïncide avec le log usuel quand l'argument est réel (et donc satisfait le principe de réflexion de Schwarz), on aura si on tourne dans le sens positif, puis , et ainsi de suite.

[Scorp]

Si, c'est pour cela que Riemann a inventé ses surfaces. Une fois choisie une détermination, par exemple celle qui coïncide avec le log usuel quand l'argument est réel (et donc satisfait le principe de réflexion de Schwarz), on aura si on tourne dans le sens positif, puis , et ainsi de suite.

ok merci pour l'info. Je connaissais les surfaces de Riemann juste de nom, mais apparement il va falloir que je me penche un peu plus là dessus...

[invite4ef352d8]

Salut !

d'un point de vue purement formelle, ln d'un nombre négatif est défini à 2ikPi près, ie à une constante près donc ca dérivé est parfaitement définie : sa ce traduit par le fait que la dérivé de ln(x) est 1/x est défini partous (enfin sauf en 0)
donc effectivement, tu peut calculer formellement le gradient de f, puis appliquer cela à ton point, et ainsi donner un sens à la question.

mais au fond, ca reste une erreur d'énoncé : ln n'est pas défini au point considérer, et donc la question n'as pas de sens. et ceci est la réponse la plus raisonable qu'on puisse donner.

[Simontheb]

D'accord, merci pour ces réponses intéressantes (même si les surfaces de riemann ne sont certainement pas de mon niveau).

[stefjm]

faute de vocabulaire:
le problème n'est pas qu'un nombre est plusieurs antécédents, le problème est qu'un nombre est plusieurs images (tous à 2iPi près)!

Waow!
Il faut l'écouter cette phrase, parce qu'à la lecture, la nuance entre «être» et «avoir» ne saute pas aux yeux.

[SchliesseB]

Wow... j'étais sacrément beurré ce soir là

[Elie520]

Wow... j'étais sacrément beurré ce soir là

Non, tu as juste écrit phonétique, et tu as bien pensé "ait"

[Seirios]

Bonjour,

Le premier chapitre de ce cours d'analyse complexe, justement sur l'extension complexe du logarithme, est assez accessible : http://jf.burnol.free.fr/0607L305cours.pdf.