Intégrale

[Elie520]

Bonsoir tout le monde !
Alors voila, je suis en terminale, et j'aimerais avoir de l'aide pour démontrer l'intégrale suivante, mais je ne sais pas si j'ai toutes les compétences requises :


Si quelqu'un pouvait me dire par exemple quelle sont les compétences minimum requises pour trouver ce résultat, je lui en serais très reconnaissant !
(Je ne connais que peu de choses : IPP, changement de variable... je ne sais pas s'il existe d'autres techniques d'intégration!)

Merci d'avance !! Très bonne soirée à vous !
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[invite8d75205f]

Bonsoir,

C'est un classique ! Comme tu sembles motivé, je ne te donnes pas la réponse mais t'indiques seulement que tu peux effectuer ce calcul avec une astuce et un changement de variables (connais-tu les coordonnées polaires ?)

Bon courage

[invite7ffe9b6a]

Tu n'as je pense pas les connaissances requises...

Bon deja on peut remarquer que la fonction a integrer est paire donc que



Notons donc

L'idée est de calculer



Ensuite puisque la fonction a integrer est positive , des théoremes assurent que




Maintenant , on fait un changement de variable en polaire...

On integre sur le quart de plan en haut a droite donc le r va varier de à et le de à

Des theoremes assurent que ce changement de variable est correcte et que le devient

Ainsi:




Et maintenant tu dois pouvoir finir: integre d'abord par rapport a l'une des variables (n'importe laquelle, des theoremes assurent l'egalité dans ce cas) puis ensuite par rapport à l'autre.

[Elie520]

Tu n'as je pense pas les connaissances requises...

Bon deja on peut remarquer que la fonction a integrer est paire donc que



Notons donc

L'idée est de calculer



Ensuite puisque la fonction a integrer est positive , des théoremes assurent que




Maintenant , on fait un changement de variable en polaire...

On integre sur le quart de plan en haut a droite donc le r va varier de à et le de à

Des theoremes assurent que ce changement de variable est correcte et que le devient

Ainsi:




Et maintenant tu dois pouvoir finir: integre d'abord par rapport a l'une des variables (n'importe laquelle, des theoremes assurent l'egalité dans ce cas) puis ensuite par rapport à l'autre.

C'est gentil d'avoir voulu m'aider, mais du coup, tu m'as tout fais, mis à part le basique travail de terminal je n'ai rien eu a chercher Mais merci quand même.
Histoire de finir quand même :



Or nous intégrons une fonction positive donc :



D'où :

Sinon, en effet, tu as utilisé plein de théorème que je ne connaissais pas et merci même si je n'ai rien eu à faire

En tout cas, nico2009 as raison, j'étais motivé donc est-ce que vous auriez d'autres intégrales super stylées à me fournir ? =) Histoire que je m'amuse

[A voir en vidéo sur Futura]

[ericcc]

Regarde les Intégrales de Wallis : http://fr.wikipedia.org/wiki/Int%C3%A9grales_de_Wallis, qui permettent également de calculer l'intégrale de Gauss, dont Anth0 t'a donné le résultat.
Ou alors l'intégrale de Dirichlet : http://fr.wikipedia.org/wiki/Int%C3%...e_de_Dirichlet

[Elie520]

Merci !
J'ai déja fait celle de Wallis en DM, mais pas celle de Dirichlet.

Cordialement.

[Elie520]

Euh, je crois que j'ai un problème pour l'intégrale de Dirichlet :
Après quelques calculs, je trouve que :
.... Is that right ? (Parce qu'en réalité, je ne connais pas trop les changements de variable et j'en ai tenté un)

[invite7ffe9b6a]

C'est gentil d'avoir voulu m'aider, mais du coup, tu m'as tout fais, mis à part le basique travail de terminal je n'ai rien eu a chercher Mais merci quand même.
Histoire de finir quand même :



Or nous intégrons une fonction positive donc :



D'où :

Sinon, en effet, tu as utilisé plein de théorème que je ne connaissais pas et merci même si je n'ai rien eu à faire

En tout cas, nico2009 as raison, j'étais motivé donc est-ce que vous auriez d'autres intégrales super stylées à me fournir ? =) Histoire que je m'amuse

C'est en même temps assez difficile de te guider dans le calcul de cette integrale puisque qu'on utilise des theoremes d'integration( Tonneli, Fubini, changement de variables par un diffeomorphisme de classe C1 avec l'intervention du Jacobien (ici r) ...) que tu ne connais pas...je voulais mettre la partie en dessous de "l'idee est de calculer I²" en spoiler mais j'ai pas pu modifier le message a temps.

[Elie520]

Non mais il y a aucun souci, je comprend tout à fait, et je t'en veux pas, c'était presque impossible de me faire deviner quoi que ce soit dans ce cas En tout cas merci !

[ericcc]

Euh, je crois que j'ai un problème pour l'intégrale de Dirichlet :
Après quelques calculs, je trouve que :
.... Is that right ? (Parce qu'en réalité, je ne connais pas trop les changements de variable et j'en ai tenté un)

Oui c'est juste : voir ici http://forums.futura-sciences.com/ma...ale-sinus.html

[Thorin]

Euh, je crois que j'ai un problème pour l'intégrale de Dirichlet :
Après quelques calculs, je trouve que :
.... Is that right ? (Parce qu'en réalité, je ne connais pas trop les changements de variable et j'en ai tenté un)

c'est vrai, mais je pense pas que ça t'avancera à grand chose pour la calculer

[Elie520]

Oui, c'est sûr, je m'en suis rendu compte Mais bon, j'ai tenté pas mal de choses, et je suis à court d'idée, je pense que ça dépasse trop mes compétences haha.

[Thorin]

hélas, je crains que oui, il faudra attendre un peu, pour celle là.

Sinon, quelque chose que tu peux faire, si tu ne l'as pas déjà fait :
calculer

[Thorin]

en fait, je viens de voir le calcul de l'intégrale de dirichlet avec les suites, sur la page wikipédia...donc tu aurais pu trouver, car ça ne demande à peu près que des changements de variables...et beaucoup de génie

[SchliesseB]

on peut généraliser la première intégrale


(n entier positif)

ainsi que

(n entier non nul)


(n entier positif)

toutes utiles en physique, les moyens pour les calculer ne sont pas forcement à ton niveau (la premiere est tu peux, les autres j'ai pas de méthodes "simples")

et y'en à d'autres