Inégalité de Cauchy-Schwarz

**hhh86** · 30/06/2010, 18h42

J'ouvre ce sujet en réponse à une question qui a été posé sur un autre forum.
J'aimerais donc solliciter votre avis et avoir une vérification ci-possible de mon travail effectué sur le sujet.

La question était peut-on généraliser l'inégalité de cauchy-schwarz de la manière suivante :

(a_(1,1)²+a_(2,1)²+...+a_(n,1)²)x(a_(1,2)²+a_(2,2)²+...+a_(n,2)²)x...x(a_(1,m)²+a_(2,m)²+...+a_(n,m)²)≥(a_(1,1)xa_(1,2)x...xa_(1,m)+a_(2,1)xa_(2,2)x...xa_(2,m)+...+a_(n,1)xa_(n,2)x...xa_(n,m))²

Je pense que c'est vrai pour des suites de réels positives ou nulles
Je vous joint le travail effectué

**hhh86** · 30/06/2010, 19h57

C'est même vrai pour toutes les suites de réels.
Je m'attaque et je vois réenvoies le pdf complet.
Si seulement un modérateur pouvait supprimer le fichier joint précédent se serait sympa de sa part
Merci d'avance

**hhh86** · 30/06/2010, 20h34

Voici le fichier en question

**KerLannais** · 01/07/2010, 10h39

Salut,

Oui en effet c'est joli

Il me semble que tu dois pouvoir montrer une inégalité plus générale

$\text{[math]}$
pour toute suite $\text{[math]}$ de réels positifs (avec éventuellement $\text{[math]}$ ou $\text{[math]}$ qui est infini) et $\text{[math]}$ n'importe quel entier compris entre $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ .

A voir en vidéo sur Futura · Aujourd'hui

**hhh86** · 01/07/2010, 10h44

Envoyé par KerLannais

Salut,

Oui en effet c'est joli

Il me semble que tu dois pouvoir montrer une inégalité plus générale

$\text{[math]}$
pour toute suite $\text{[math]}$ de réels positifs (avec éventuellement $\text{[math]}$ ou $\text{[math]}$ qui est infini) et $\text{[math]}$ n'importe quel entier compris entre $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ .

Bonjour, merci à vous pour votre réponse, je vais y réfléchir

**hhh86** · 01/07/2010, 13h13

Rebonjour,

En fait, en ce qui concerne la question que tu m'as posé, KerLannais, si je ne me trompe pas, il s'agit seulement d'une généralisation de l'inégalité de Hölder.

On peut démontrer cette généralisation de la même façon que la généralisation de cauchy-schwarz mais en partant de l'inégalité de Hölder. Ca ne change pas grand chose

Soit (u_i) une suite de réels positifs ou nuls définie sur {1 ;2 ;… ;n}

Il faut aussi montrer que la somme des (u_i^k) allant de 1 à n est inférieure ou égale à (la somme des la somme des u_i allant de 1 à n )^k

Il suffit de faire une récurrence sur IN et d'appliquer la formule du binôme dans le caractère héréditaire pour démontrer ceci

Si j'ai le temps je mettrais en forme la démonstration

**hhh86** · 01/07/2010, 16h29

en fait non, je réfléchis encore

**hhh86** · 01/07/2010, 18h06

Envoyé par KerLannais

Salut,

Oui en effet c'est joli

Il me semble que tu dois pouvoir montrer une inégalité plus générale

$\text{[math]}$
pour toute suite $\text{[math]}$ de réels positifs (avec éventuellement $\text{[math]}$ ou $\text{[math]}$ qui est infini) et $\text{[math]}$ n'importe quel entier compris entre $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ .

Je rencontre une difficulté, pourriez vous me répondre au plus vite :
Pour n=3, k=3 et m=2, j'ai trouvé un contre exemple :

(1*2+2*3+3*4)³>(1³+2³+3³)(2³+3 ³+4³)

**Garf** · 02/07/2010, 10h04

Ce n'est pas la bonne généralisation de l'inégalité de Hölder, étant donné qu'une condition a été oubliée sur l'entier $\text{[math]}$ (par exemple, $\text{[math]}$ ). Pour aller plus loin :

Soient $\text{[math]}$ dans $\text{[math]}$ tels que $\text{[math]}$ . Alors :

$\text{[math]}$

(convention usuelle : si $\text{[math]}$ , on a la norme sup)

**hhh86** · 02/07/2010, 10h08

Envoyé par Garf

Ce n'est pas la bonne généralisation de l'inégalité de Hölder, étant donné qu'une condition a été oubliée sur l'entier $\text{[math]}$ (par exemple, $\text{[math]}$ ). Pour aller plus loin :

Soient $\text{[math]}$ dans $\text{[math]}$ tels que $\text{[math]}$ . Alors :

$\text{[math]}$

(convention usuelle : si $\text{[math]}$ , on a la norme sup)

non en effet de toute façon la conjecture de KerLannais s'avère fausse me semble-t-il à moins que celui-ci ait oublié de préciser des conditions à sa conjecture

**KerLannais** · 02/07/2010, 18h03

Oui y a une constante à ajuster, si j'ai dit il me semble que , c'est que j'ai pas regardé en détail

pour les suites finies

$\text{[math]}$

avec

$\text{[math]}$

remarquer que lorsque $\text{[math]}$ est un multiple de $\text{[math]}$ il n'y a pas de problème et si ce n'est pas le cas on peut toujours compléter avec des suites finies constantes égales à 1 pour se ramener à $\text{[math]}$ multiple de $\text{[math]}$ , ce qui fait apparître une constante, ce à quoi j'avais pas fait gaffe

Ce qui importe c'est que la constante ne dépende pas des $\text{[math]}$ . Par contre je suis d'accord que pour les suites infinies ça ne marche pas très bien, en même temps la constante n'est pas optimale à priori.

J'ai pas fais la preuve en détail, c'est donc encore une conjecture mais je vais essayer de mettre ça au propre. Je ne garantis pas que c'est correct.

Quand à l'inégalité de Garf, bah c'est la généralisation classique de Hölder et d'ailleurs on donne parfois l'inégalité de Hölder sous cette forme, c'est connu depuis très longtemps et donc ça n'a pas beaucoup d'intérêt

**KerLannais** · 02/07/2010, 22h33

oups la condition ce n'est pas que $\text{[math]}$ soit un multiple de $\text{[math]}$ , je vous mets un exemple pour que vous compreniez

par exemple $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ quelconque.

$\text{[math]}$
Par Hölder (généralisé) et
$\text{[math]}$
En réutilisant Hölder
$\text{[math]}$

Donc la condition semble être $\text{[math]}$

**Garf** · 03/07/2010, 00h28

Si on autorise l'introduction d'une constante, je pense qu'on peut s'inspirer de la preuve du théorème selon lequel "toutes les normes sont équivalentes en dimension finie" pour montrer que, pour tous $\text{[math]}$ dans $\text{[math]}$ , il existe une constante $\text{[math]}$ telle que :

$\text{[math]}$

**Garf** · 03/07/2010, 00h39

Ah, au passage, le calcul précédent est essentiellement trivial, même pour des suites infinies. Soient $\text{[math]}$ (k n'est pas nécessairement un entier ici).

$\text{[math]}$

**KerLannais** · 03/07/2010, 14h33

Oui c'est ça la condition $\text{[math]}$ , je ne sais pas pourquoi dans mon premier message j'ai pris $\text{[math]}$ , c'est une étourderie. Mon but était juste de proposer une généralisation de l'inégalité proposée selon la même idée de preuve pour rester accessible à hhh86 et qu'il puisse facilement adapter sa démo

Mais bien entendu je sais bien que pour les suites finies ou infinies on a $\text{[math]}$ pour $\text{[math]}$ et Hölder qui donne l'intégrabilité d'un produit de $\text{[math]}$ termes dès que les termes sont $\text{[math]}$ . Donc s'ils sont $\text{[math]}$ il faut nécessairement $\text{[math]}$ sinon ça ne marche pas en général sauf pour les suites finies par l'équivalence des normes ou si tu prends une mesure finie (par exemple mesure de probabilité) sur $\text{[math]}$ ou $\text{[math]}$ .

**hhh86** · 03/07/2010, 15h02

Envoyé par KerLannais

Oui c'est ça la condition $\text{[math]}$ , je ne sais pas pourquoi dans mon premier message j'ai pris $\text{[math]}$ , c'est une étourderie. Mon but était juste de proposer une généralisation de l'inégalité proposée selon la même idée de preuve pour rester accessible à hhh86 et qu'il puisse facilement adapter sa démo

Mais bien entendu je sais bien que pour les suites finies ou infinies on a $\text{[math]}$ pour $\text{[math]}$ et Hölder qui donne l'intégrabilité d'un produit de $\text{[math]}$ termes dès que les termes sont $\text{[math]}$ . Donc s'ils sont $\text{[math]}$ il faut nécessairement $\text{[math]}$ sinon ça ne marche pas en général sauf pour les suites finies par l'équivalence des normes ou si tu prends une mesure finie (par exemple mesure de probabilité) sur $\text{[math]}$ ou $\text{[math]}$ .

ok je regarderais ça alors

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