Différence entre C- et R-linéaire

[Bartolomeo]

Bonjour,

quelle la différence entre et -linearité?
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[invite4ef352d8]

ba une application k linéaire (pour k un corps quelconque) c'est une application sur un k-espace vectoriel E tel que f(ax+by)=af(x)+bf(y) pour tout a,b dans k et x,y dans E.

donc R linéaire ca veut dire que tu peut "sortir" les réel, les C linéaire tout les nombres complexe

par exemple Re(z) et Im(z) sont des applications R linéaire, mais pas C linéaire...

[invitefa064e43]

pour info et pour compléter ksilver,

j'ajouterai que l'utilité la plus "basique" de ces définition est lorsqu'on cherche à définir la dérivabilité d'une fonction complexe.

une fonction linéaire de dans , c'est en fait une fonction qui consiste à multiplier par un nombre réel.

Ex :

Dans on dit qu'une fonction est dérivable en si il existe une constante réelle telle que

avec continue telle que , c-à-d un petit reste

autrement dit, pour simplifer, on veut que

ou encore

c'est à dire est approché autour de par une fonction -linéaire (une droite !) (en tant que fonction de h, c'est environ une fonction (-linéaire , une fonction qui multiplie h par un nombre réel)


Dans , pour transposer correctement il suffit d'écrire la même chose (Avec un module de h quelque-part à la place de h), mais évidemment le nombre doit être complexe, et donc une fonction est dérivable dans si est environ un fonction -linéaire . (multiplication par un nombre complexe)

A noter que c'est plus fort que simplement avoir une fonction à 2 variables réelles différentiable en chacune des deux variables. Il faut ajouter un petit quelque-chose (les équations de Cauchy-Riemann).