Bonjour à tous,
Je suis tombé sur un exercice qui demandait de montrer que l'ensemble des nombres algébriques (les racines des polynômes de ) était dénombrable ; j'ai pensé à cette solution :
On introduit l'application tel que soit le polynôme minimal unitaire de et tel que soit la -ème racine de en introduisant une relation d'ordre total sur (par exemple en comparant les modules, puis en comparant les arguments (pris dans ) si les modules sont égaux). L'application est bien définie parce que la relation d'ordre est totale et par unicité du polynôme minimal unitaire, ce qui se montre en introduisant le morphisme d'algèbres puis en montrant qu'il existe un unique polynôme unitaire tel que (ce qui ne prend que quelques lignes).
De plus, est injective, et donc ; or est équipotent à qui est dénombrable (on peut construire une bijection avec en considérant l'écriture en base décimale), donc est au plus dénombrable, et même dénombrable puisque .
Mais ma solution me paraît un peu longue, et une indication est donnée dans l'exercice, qui mène sans doute vers une résolution plus simple : montrer qu'il existe un nombre fini d'équations tel que , où n et N sont des entiers fixés et où les appartiennent à . Mais je ne vois pas très bien où mène cette considération (puisque le résultat par lui-même est presque évident)...
Quelqu'un saurait comment utiliser cette indication ou bien connaîtrait une autre démonstration plus élémentaire de la dénombrabilité de l'ensemble des nombres algébriques ?
Merci d'avance,
Phys2
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