Infiniment petit

invite5315bab9 · 01/08/2010, 19h38

Salut à tous,

Quelqu'un peut m'expliquer ce que c'est les paradoxes de "Xénon" sur l'infiniment petit?

**Thorin** · 01/08/2010, 19h40

http://lmgtfy.com/?q=paradoxe+de+z%C3%A9non

invite5315bab9 · 01/08/2010, 19h43

hum heu ui c vrai k vu comme ca...

invite5315bab9 · 01/08/2010, 19h45

merci Thorin par contre peut tu m'expliquer un paradoxe avec la formule mathématique pour que je comprenne bien la logique? Le coup de pierre et l'arbre dit qu'il y a une infinité de réponse mais au bout d'un moment la pierre touche l'arbre quand même nan?

A voir en vidéo sur Futura · Aujourd'hui

**RoBeRTo-BeNDeR** · 01/08/2010, 20h08

lolo76 ce paradoxe est dû à la notion de limite, il me semble qu'elle n'était pas encore présente à l'époque de son écriture.

L'arbre se trouve à 2 mètres (ce sera plus suimple ) biensur si tu jettes une pierre elle va le touché mais ce qu'il mettait ici en évidence c'est que quelque soit N alors le parcours de la pierre aura été 1 mètre puis $\text{[math]}$ mètre puis $\text{[math]}$ de mètre etc jusqu'à $\text{[math]}$ donc une distance totale de $\text{[math]}$ et quelque soit N positif alors cette somme est strictement inférieur à 2 donc la pierre n'atteint jamais l'arbre.

Mais il faut voir que $\text{[math]}$

Et ceci nous rassure donc de la justesse de nos bonnes vielles mathématiques

RoBeRTo

**Elie520** · 02/08/2010, 23h22

Ce qui est marrant, c est que l on pourrait se dire qu en suivant le même raisonnement mais en considérant a chaque fois seulement le tiers de la distance restante peut-être que le rèsultat changerait. Eh bien non, on trouve que la distance parcourue au rang $\text{[math]}$ est : $\text{[math]}$

$\text{[math]}$

De même, si la pierre parcourt un k-ième du trajet a chaque fois, en calculant la somme infinie, on retombe sur 1 pour peu que k soit supérieur a 1.

**Médiat** · 03/08/2010, 06h08

Une version troublante :

Une fourmi est posée à une extrémité d’un élastique de 2cm de long.
Une étape consiste, pour la fourmi à parcourir 1cm en direction de l’autre extrémité (baptisée « Fin » ci-dessous) de l’élastique, et instantanément, lorsque la fourmi a parcouru ce cm, l’élastique double de longueur.

La première étape dure 1 seconde, mais comme ce processus énerve la fourmi, chaque étape dure exactement la moitié de l’étape précédente.

Deux questions :
1) Où se trouve la fourmi, par rapport à la fin de l’élastique, à la fin de l’étape n ?
2) Où se trouve la fourmi, par rapport à la fin de l’élastique, au bout de 2 secondes ?

PS : Cette expérience a été réalisée dans nos laboratoires par des professionnels particulièrement entrainés à cet effet, vous ne devez tenter de la reproduire chez vous sous aucun prétexte.

**ericcc** · 03/08/2010, 12h03

Pour la question 2, la question est véritablement de savoir si la fourmi peut résister au mur du çon (approximativement entre la 11e et la 12e étape si je ne Mabuse)

**Médiat** · 03/08/2010, 12h05

Envoyé par ericcc

Pour la question 2, la question est véritablement de savoir si la fourmi peut résister au mur du çon (approximativement entre la 11e et la 12e étape si je ne Mabuse)

Et pourquoi crois-tu que j'ai mis le PS

**ericcc** · 03/08/2010, 12h20

La déflagration cosmique de la fourmi peut détruire le laboratoire, j'imagine.

Note que certaines fourmis s'auto détruisent déjà par explosion : http://www.myrmecofourmis.com/site.php?p=30719

**Médiat** · 03/08/2010, 12h52

Envoyé par ericcc

La déflagration cosmique de la fourmi peut détruire le laboratoire, j'imagine.

Note que certaines fourmis s'auto détruisent déjà par explosion : http://www.myrmecofourmis.com/site.php?p=30719

J'aurais aimé une vidéo, mais google me répond des choses genre : "I can't find a damn video of a Camponotus saundersi specimen exploding", si quelqu'un en trouve, je suis preneur

.

By the way : pas de proposition pour les questions ?

**ericcc** · 03/08/2010, 13h24

Je répondrais bien à la première question par
1/La fourmi est dans le bleu, pour ce qui est d'arriver à la fin de l'élastique
2/La fourmi est dans le rouge, vu sa vitesse (dopée à l'EPO ?)

**Elie520** · 03/08/2010, 20h13

Pour la deux je répondrais qu'elle est au point de départ si on fait le rapport de la taille de l'élastique sur la distance parcourue par la fourmi au bout de deux seconde.
(je peux éventuellement expliciter le calcul)

Et sinon, si tu avais dit au bout de 3 secondes, comment aurions-nous dû raisonner ? En disant que c'était une question piège ?

**Médiat** · 03/08/2010, 20h18

Envoyé par Elie520

Pour la deux je répondrais qu'elle est au point de départ si on fait le rapport de la taille de l'élastique sur la distance parcourue par la fourmi au bout de deux seconde.
(je peux éventuellement expliciter le calcul)

Je veux bien voir les calculs ...

Envoyé par Elie520

Et sinon, si tu avais dit au bout de 3 secondes, comment aurions-nous dû raisonner ? En disant que c'était une question piège ?

Il aurait fallu intégrer au résultat, toutes les folies qu'une fourmi hyper-rapide peut faire en 1 seconde

.

**Universus** · 03/08/2010, 22h32

Je dirais qu'à la fin de chaque étape, elle est à un centimètre du fil tandis qu'au début de chaque étape, elle est à deux centimètres. L'aspect étonnant du problème étant néanmoins que la position relative de la fourmi par rapport à la longueur totale de l'élastique, elle, tend vers 1. Autrement dit, au début de l'étape n, l'élastique a une longueur $\text{[math]}$ , mais la fourmi se trouve à 2 centimètres de l'extrémité, d'où une distance relative de la fin de $\text{[math]}$ au début de l'étape n et de $\text{[math]}$ à la fin de l'étape n.

Le temps passé tout juste après avoir fini l'étape n est $\text{[math]}$ , soit numériquement 2 fois la distance relative de la fin. 2 secondes correspond donc au cas limite d'un n infini. C'est-à-dire que bien que la fourmi soit toujours à 1 centimètre de la fin à la fin de chaque étape, après 2 secondes elle a, relativement à la longueur totale de l'élastique, atteint l'extrémité.

Dans tout cela, j'ai bien sûr supposé que la fourmi s'agrippait bien à l'élastique lors de son agrandissement. Sachant cela, je dis que l'agrandissement instantané de l'élastique fait en sorte que la fourmi franchi le mur du son dès le premier agrandissement

.

PS : l'étape 0 est l'étape initiale lors de laquelle l'élastique ne mesure que 2 centimètres.

**Elie520** · 04/08/2010, 02h29

Je vais vous exposer mon raisonnement dont ke ne suis pas certain pour la question 2.

Au rang n, la distance parcourue par la fourmi vaut $\text{[math]}$ cm.
De même, au rang n l'élastique mesure $\text{[math]}$ cm.

Maintenant on veut savoir ou en est la pauvre et courageuse fourmi kamikaze au bout de 2 secondes. Or au rang n, le temps écoulé depuis le début de l'expérience vaut : $\text{[math]}$ secs. On voit donc qu'on n'atteint 2 secondes qu'en faisant tendre n vers plus l'infini.
Maintenant calculons, au rang n, le rapport $\text{[math]}$ correspondant au pourcentage de la corde parcoure par la fourmi.
Ainsi, comme $\text{[math]}$ , on peut en déduire que la fourmi est pas prête d'arriver...

**Médiat** · 04/08/2010, 04h21

Envoyé par Elie520

Au rang n, la distance parcourue par la fourmi vaut $\text{[math]}$ cm.

Autrement dit, vous supposez que l'élastique grandit devant la fourmi, mais pas derrière elle

.

**Médiat** · 04/08/2010, 04h44

Bonjour,

Envoyé par Universus

Je dirais qu'à la fin de chaque étape, elle est à un centimètre du fil tandis qu'au début de chaque étape, elle est à deux centimètres.

La fin d'une étape correspondant au début de la suivante, il me semblerait plus naturel de trouver la même chose

.
Comme ce que j'ai appelé étape inclut l'agrandissement de l'élastique, en fait au début d'une étape, comme à la fin, la fourmi est à 2 cm de la fin. Mais ce n'est qu'une histoire de convention sans importance.

Envoyé par Universus

L'aspect étonnant du problème étant néanmoins que la position relative de la fourmi par rapport à la longueur totale de l'élastique, elle, tend vers 1. Autrement dit, au début de l'étape n, l'élastique a une longueur $\text{[math]}$ , mais la fourmi se trouve à 2 centimètres de l'extrémité, d'où une distance relative de la fin de $\text{[math]}$ au début de l'étape n et de $\text{[math]}$ à la fin de l'étape n.

Autrement dit la fourmi est toujours entre 1 et 2 cm de la fin, si on considère que la fin de l'élastique est fixe, un observateur situé à cette extrémité, et clignant des yeux (de plus en plus vite) verrait toujours la fourmi immobile à 2 cm (ou 1cm) de lui, comme si elle ne bougeait pas.

Envoyé par Universus

Le temps passé tout juste après avoir fini l'étape n est $\text{[math]}$ , soit numériquement 2 fois la distance relative de la fin. 2 secondes correspond donc au cas limite d'un n infini. C'est-à-dire que bien que la fourmi soit toujours à 1 centimètre de la fin à la fin de chaque étape, après 2 secondes elle a, relativement à la longueur totale de l'élastique, atteint l'extrémité.

Et oui, bien que "pratiquement" immobile par rapport à la fin (te jamais à moins de 1 cm), elle finit par l'atteindre ...

Envoyé par Universus

Dans tout cela, j'ai bien sûr supposé que la fourmi s'agrippait bien à l'élastique lors de son agrandissement.

C'est une bonne supposition

.

Pour résumer,
1) si on s'occupe de la position absolue de la fourmi par rapport à la fin de l'élastique, à la fin de chaque étape, elle est constante ( 1 ou 2 cm, cela n'a pas d'importance), et pour la position à 2s, surtout si on suppose la fin fixe, la limite d'une constante étant égale à cette constante, on est tenté de dire que la fourmi est toujours à 2cm (ou 1)de cette fin.
2) si on s'occupe de la position relative de la fourmi par rapport à la fin de l'élastique, à la fin de chaque étape, elle est à une distance relative qui diminue (divisée par 2 à chaque étape), et tend vers 0 quand le temps tend (tant qu'il peut

) vers 2s, on est tenté de dire que la fourmi a atteint la fin de l'élastique au temps t = 2s.

Conclusion : rien ne vaut une bonne démonstration mathématique ...
Je laisse l'ensemble des lecteurs de passage chercher une telle démonstration, celle que j'ai en tête n'est pas compliquée du tout.

**leg** · 04/08/2010, 12h26

la fourmie ne bouge pas par rapport à la fin de l'élastique, au début de chaque étape elle est toujours à 2cm de l'extrémité.
et elle ne peut atteindre les 2s...mais comme elle atteind la vitesse de la lumière le temps s'arrête...non...

**Médiat** · 04/08/2010, 12h34

Envoyé par leg

comme elle atteind la vitesse de la lumière le temps s'arrête...non...

Ce n'est pas un problème de physique, elle dépasse la vitesse de la lumière au bout de 36 étapes, alors à la 100^ième, puis à la googolplex^ième

et ...

Le PS du premier message avait pour but de ne pas se poser ce genre de question ...

**Elie520** · 04/08/2010, 13h16

Envoyé par Médiat

Autrement dit, vous supposez que l'élastique grandit devant la fourmi, mais pas derrière elle

.

Ah oui, c'est pas faux...

En remplaçant d(n) par la bonne expression, on trouve que r(n)=1 en plus linfini.

**Médiat** · 04/08/2010, 13h35

Envoyé par Elie520

En remplaçant d(n) par la bonne expression, on trouve que r(n)=1 en plus linfini.

Comme Universus, et moi donc.
C'est quand même troublant qu'une fourmi qui ne bouge pas (cf. plus haut) pour un certain observateur, finisse par atteindre cet observateur ; personnellement cela me ravit car cela "démontre" mathématiquement (il y a d'autres "démonstration") que l'aphorisme (que je n'aime pas) de Michel Audiard :

Envoyé par Michel Audiard

Un con qui marche va plus loin qu'un intellectuel assis

est complètement fausse

**leg** · 04/08/2010, 14h07

Envoyé par Médiat

, puis à la googolplex^ième

et ...

.

cela doit être rapide à cet étape...

**leg** · 04/08/2010, 14h14

Envoyé par Médiat

que l'aphorisme (que je n'aime pas) de Michel Audiard :
est complètement fausse

oui, d'autant plus qu'il marche le long du même élastique, et l'observateur intellectuel, qui est assis se dit : (il est vraiment con celui la);

, M Audiard qui lui demande: à bon , et pourquoi...

**Universus** · 04/08/2010, 19h29

Bonjour,

Envoyé par Médiat

C'est quand même troublant qu'une fourmi qui ne bouge pas (cf. plus haut) pour un certain observateur, finisse par atteindre cet observateur

Je ne sais pas si on peut vraiment dire qu'elle atteint l'observateur à l'extrémité de l'élastique... C'est qu'elle ''l'atteint'' du point de vue d'un espèce d'observateur-dieu qui peut toujours visualiser l'élastique comme quelque chose de taille finie. S'il dit que l'élastique mesure une unité particulière au cours de toute l'expérience, il pourrait observer le chemin parcouru par la fourmi et il en conclurait qu'à t=2s, dans son système de coordonnées, la position de la fourmi coïncide avec l'extrémité de l'élastique. Seulement, pour la fourmi qui est dotée disons du système de coordonnées 'absolu' en centimètres, toute distance qui lui semble 'orthodoxe' (ayant une valeur réelle positive) n'est toujours qu'une distance nulle selon l'observateur-dieu pour lequel toute distance 'orthodoxe' est une 'distance infinie' pour la fourmi... Bref, à t=2s, il n'y a plus de bijection entre les deux systèmes de coordonnées. La suite des changements de paramétrisation permettant à l'étape n de passer d'un système de coordonnées à l'autre ne converge pas uniformément.

Vu les infinis qui apparaissent à t=2s, je ne sais pas ce qui serait une bonne démonstration permettant de résoudre le paradoxe.

**Médiat** · 05/08/2010, 04h32

Envoyé par Universus

il n'y a plus de bijection entre les deux systèmes de coordonnées. La suite des changements de paramétrisation permettant à l'étape n de passer d'un système de coordonnées à l'autre ne converge pas uniformément.

Vu les infinis qui apparaissent à t=2s, je ne sais pas ce qui serait une bonne démonstration permettant de résoudre le paradoxe.

D'où l'intérêt de choisir un système de coordonnées qui ne change pas

**Universus** · 05/08/2010, 18h11

Hum... Je ne vois pas trop, j'ai de la difficulté à voir ce qui pourrait être une solution à ce paradoxe. Je peux imaginer un système de coordonnées unique (en plus du système métrique utilisé dans l'énoncé du problème) pour lequel la position de la fourmi est bornée en tout temps entre deux valeurs particulières et pour lequel la longueur de l'élastique est, bien que grandissante, toujours finie. Néanmoins, malgré l'existence d'un tel système de coordonnées, je ne vois pas en quoi ça résout quoique ce soit. Plus généralement, je ne vois pas quel système de coordonnées pourrait régler la chose.

Autrement, bien que dans le système métrique la position de la fourmi soit en tout temps comprise entre 1 et 2 centimètres de l'extrémité de l'élastique, il faut aussi bien comprendre qu'à t= 2 secondes, la fourmi (se déplaçant à une vitesse infinie si on peut dire) n'a plus de position bien définie. Autrement dit, il existe deux suites d'instants tous inférieurs au moment t=2s (convergeant toutes deux vers t=2s) qui correspondent à 2 suites de positions de la fourmi dans le temps, ces deux dernières suites ne convergeant pas vers une unique valeur. Le problème est donc aussi là : dans le système métrique, la fourmi n'a pas de position bien déterminée à la fin (mais elle n'est pas à l'extrémité ça s'est certain) alors que dans le système 'relatif', elle a atteint l'extrémité et a une position fixe.

Trouver une solution à ce problème est en effet une chose tordue.

**Médiat** · 06/08/2010, 04h43

Envoyé par Universus

Hum... Je ne vois pas trop, j'ai de la difficulté à voir ce qui pourrait être une solution à ce paradoxe. Je peux imaginer un système de coordonnées unique (en plus du système métrique utilisé dans l'énoncé du problème) pour lequel la position de la fourmi est bornée en tout temps entre deux valeurs particulières et pour lequel la longueur de l'élastique est, bien que grandissante, toujours finie.

Pourquoi vous imposez-vous cette contrainte (un système de coordonnées, ici, est juste une bijection croissante entre l'élastique (qui n'est pas "réel"), et un segment de IR (ou de Q)) ?

**Universus** · 06/08/2010, 14h52

J'ai de la difficulté à voir où vous voulez en venir, n'interprétant pas vos indications exactement de la façon probablement voulue.

Au message #25, j'avais parlé d'un système métrique et d'un système relatif. À un facteur d'échelle près, le système métrique peut être vu comme étant $\text{[math]}$ . Le système relatif doit être vu comme étant le résultat au fil du temps d'un marquage sur l'élastique du système métrique au temps t=0 (puisqu'initialement, les deux systèmes de coordonnées coïncident). Ce dernier système 'grandit' au fil du temps (ou, de la façon que j'interprète vos termes, la paramétrisation de l'élastique est une bijection croissante avec les réels au fil des étapes). En particulier, la bijection entre les deux systèmes de coordonnées n'est pas la même au fil de l'expérience. C'est ce dont je mentionnais au message 25 (avec les problèmes que ça engendre), message auquel vous avez répondu de ne trouver qu'un seul système de coordonnée.

La façon dont j'ai compris cela était de chercher autre chose que le système relatif. Néanmoins, même si c'est ce qu'il faut que j'aie compris, je ne sais pas quelle caractéristique précise doit satisfaire le nouveau système de coordonnées. J'en ai trouvé un hybride entre le relatif et le métrique :

- Comme le relatif, l'élastique a toujours une longueur finie.
-Comme le métrique, l'élastique a une taille variable dans le temps et la fourmi demeure en tout temps dans un intervalle particulier de la paramétrisation qui ne comprend pas l'extrémité de l'élastique.

J'imagine qu'on pourrait faire autrement en trouvant une paramétrisation pour laquelle (en considérant comme vous l'avez fait la position de la fourmi comme essentiellement constante) les deux extrémités de l'élastique ainsi que la position de la fourmi serait des points fixes de la paramétrisation. Ainsi, la taille de l'élastique serait fixe en tout temps (et finie) et la position de la fourmi constante sans coïncider avec une extrémité non plus. Seulement, la paramétrisation changerait dans le temps...

Bref, tout ce long message pour simplement répéter 'je ne comprends pas comment m'en sortir avec vos indications'. Je comprends l'aspect paradoxal de la situation, mais je ne 'formalise' pas le problème pour voir comment il est possible de le résoudre.

**Médiat** · 06/08/2010, 16h26

Bonsoir,

Etablissons la bijection entre [0, 2] et l'élastique au repos, et ne changeons pas cette bijection au fil du temps, elle représente quasiment une "matérialisation" de l'élastique.
Etape 0 la souris est au point 0
Fin de l'étape 1 la souris est au point 1
Fin de l'étape 2 la souris est au point 1.5
Fin de l'étape 2 la souris est au point 1.75 etc.

Et si on veut savoir si la souris atteint le point 2, il suffit de vérifier que pour n'importe quel point x de [0, 2[, il existe une étape ou la fourmi est après le point d'image x, donc elle ne peut être en aucun point dont l'image appartient à [0, 2[, donc elle est sur le point d'image 2, dans le bras de l'observateur.

En fait cette présentation n'est qu'une relativisation, vous l'aviez bien, vu de l'énoncé initial de Zénon.

J'ai peur de vous avoir embrouillé en vous donnant des indices ...

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