image réciproque d'un morphisme

[inviteedb1f4ef]

Bonjour.
Je me pose la question de savoir si on a ou non le droit d'écrire pour un morphisme de groupe quelconque :



avec


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[invitea0b22930]

Pour ce qui concerne la notation du dessus. je comprends les notations b1 et b2 comme des éléments.
Si le morphisme n'est pas bijectif l'image réciproque d'un élément n'est pas définie, donc le problème ne se pose même pas.

[inviteedb1f4ef]

Je parle d'image réciproque et non d'application réciproque

[invitea0b22930]

Oui, je m'en suis rendu compte immédiatement après.
A priori cela me parait faux mais je n'ai pas de contre exemple pour le moment.
Je dois maintenant m'absenter, je pense que tu auras vite une réponse.

[A voir en vidéo sur Futura]

[inviteedb1f4ef]

@Media
Je me suis trompé dans les notations de mon premier message.
Je voulais dire



En fait ma question s'inscrit dans une plus large (mais supposée simple).
J'aimerai montrer que l'image réciproque d'un idéal par un morphisme est un idéal.

[invite4ef352d8]

Salut !

on a un sens immediat :

si x est dans f^(-1)(a)+f(-1)(b), alors x s'ecrit a'+b' (notation evidente) et f(x)=f(a')+f(b')=a+b : x appartiens à f^(-1)(a+b)

l'autre est faux : si x s'envoi par f sur a+b ca ne permet pas du tout le décomposer en un element s'envoyant sur a + un element s'envoyant sur b, a et b n'on à priori aucune raison d'être dans l'image de f. (par exemple, prend f le morphisme nul, et b=-a...)

en revanche le résultat est vrai si on suppose que soit a soit b est dans l'image de f : dans ce cas, prend x tel que f(x)=a+b, a' tel que f(a')=a alors x=a'+(x-a') et f(x-a')=b

[invite4ef352d8]

J'aimerai montrer que l'image réciproque d'un idéal par un morphisme est un idéal. >>> c'est en effet très simple ! il suffit d'appliquer la définition d'un ideal :S

[inviteedb1f4ef]

Merci pour votre réponse Ksilver.
Mais pour l'image réciproque d'un idéal, ça ne me saute vraiment pas aux yeux.

un morphisme.

(c'est comme ça que je comprend la définition d'un idéal, en plus du fait que (B,+) soit un sous-groupe).

il faudrait montrer que

Or on a (d'après votre message) (Je remarque que vous n'avez pas utilisé l'hypothèse que les éléments sont inversibles, je peux donc appliquer ce résultat à la deuxième loi).

donc



->

De plus, donc



Ça parait juste ? y a-t-il une manière plus simple "d'appliquer la définition d'un idéal ?"

[invite4ef352d8]

y a-t-il une manière plus simple "d'appliquer la définition d'un idéal ?" >>>

la définition d'un ideal, c'est que c'est une parti I dans anneau A tel que, pour tous x,y dans I, x+y est aussi dans I, et pour tout a dans A, x dans I a.x est dans I. c'est quand même plus simple non ?

si f:A->B est un morphisme d'anneau et I un ideal de B
c'est deux proprété sont trivial à vérifié pour f^(-1)(I) :

prend x,y dans f^(-1)(I), a dans A, et vérifie que x+y et ax sont dans f^(-1)(I), ie que leur image par f est dans I...

[inviteedb1f4ef]

Merci.
J' ai un peu de mal à manier les images réciproques. Je me mélange tout le temps entre qu'est-ce qui est inclus dans quoi.

Mais effectivement, ça se vérifie tout seul.

[invite4ef352d8]

"J' ai un peu de mal à manier les images réciproques. Je me mélange tout le temps entre qu'est-ce qui est inclus dans quoi. " >>> dans ce cas si je peut de donner un conseil : reviens systématiquement à la definition (x est dans f^(-1)(A) si f(x) est dans A) et dès que tu as une egalité entre deux ensemble à prouvé, ne cherche pas à montrer directement l'égalité, mais prouve les deux inclusions séparement. Et surtout favorise toujours les raisonement sur les elements plutot que sur les ensembles eux même (ie evite les raisonement comme celui de ton post ou tu prouve que l'image reciproque d'un ideal est un ideal) en procedant ainsi, toutes les petites question à propos de l'image reciproque d'une union, d'une somme d'une intersection ou je ne sais quoi d'autre ce résolve trivialement et de facon completement automatique (enfin, ca demande un petit peu de pratique au début j'imagine).

c'est exactement comme ca que j'ai procédé pour ta question de départ, ou pour montrer que l'image réciproque d'un ideal etait un ideal et comme tu peux le voir on trouve la réponse sans trop d'effort de cette facon.

[Médiat]

@Ksilver : est-ce que vous pourriez utiliser la balise [QUOTE] quand vous faites une citation, cela rendrait vos messages plus clairs.

Cordialement,