Définition exacte d'un morphisme ?

[morph]

Bonjour,

j'aimerais obtenir une précision au sujet de ce qu'on appelle exactement "morphisme".

Dans le livre que j'ai sous la main, la définition est assez claire :

Pour deux ensembles munis de lois internes :
une application de (E,.) dans (E',*) qui vérifie : f(x.y) = f(x)*f(y).

Mais après on parle aussi de morphisme entre espaces vectoriels, et là on donne une condition sur l'addition vectorielle, mais en plus on précise aussi qu'il faut que f(a.x)=a.f(x).

Wikipédia donne une définition différente et différencie selon les cas (morphismes de groupes, anneaux, espaces vectoriels etc ...) :

En mathématiques, un morphisme ou homomorphisme est une application entre deux ensembles munis d'une même espèce de structure, qui respecte cette structure.

Ça veut dire quoi précisément "conserver la structure" ?
Que toutes les lois de composition (internes et externes) se "transportent" sur l'autre ensemble ?

Ou y a-t-il d'autres conditions (autres que les lois de composition) ?

Merci.

[Médiat]

Bonjour,

Quand on fait des mathématiques, on le fait à l'aide d'un Langage, un langage est constitués de symboles de relation, de symboles de fonction et de symbole de constante.

Une structure est un ensemble, et une interprétation de chacun des éléments du langage.

Par exemple pour les groupes, on peut envisager le langage (0, .) constitué d'un symbole de constante et d'un symbole de fonction binaire, (Z, 0, +) est la structure constitué de l'ensemble Z, de la constante 0 (il existe bien un élément de Z portant ce "nom"), de la fonction + (que tout le monde connaît sous la forme x + y = z, mais que l'on pourrait écrire +(x, y) = z).

Un morphisme entre deux structures interprétant un même langage (et la définition est indépendantes des axiomes vérifiés pas cette structure) est une fonction qui "transporte" les éléments du langage (l'image de l'interprétation d'une constante dans la structure source est l'interprétation de cette même constante dans la structure cible ; si des éléments sont en relations dans la structure source, alors leurs images sont en relation dans la structure cible ; je vous laisse trouver ce qu'il faudrait dire pour les fonctions)

Quant à "conserver la structure", je me méfie de cette expression : il existe un morphisme de tout groupe non commutatif dans le groupe trivial, et personnellement cela me gène de dire que l'on a "conservé la structure" (alors qu'à l'arrivée on a un groupe commutatif), cette expression ne convient vraiment bien que pour les isomorphismes, et dans une moindre mesure pour les morphismes injectifs.

[jobherzt]

En fait, respecter la structure, ca veut dire que tu dois obtenir le meme resultat quand tu :

- appliques d'abord un "truc" de la structure (loi de composition interne ou externe, inversion) puis que tu appliques f au resultat
- appliques d'abord f, puis le "truc"

et que les "constantes" (element neutres pour les differentes lois par exemple) sont envoyés par f sur la constante qui correspond.

Dit comme ca ca n'est pas tres rigoureux, mais c'est vraiment l'idée directrice. Une structure c'est un ensemble avec des trucs en plus, qui rajoute quelque chose (l'ensemble des entiers c'est cool mais tu ne peux pas en faire grand chose, tant que tu n'ajoutes pas le fait que tu peux les additionner et les multiplier), et un morphisme c'est une application qui tient compte de cette structure, qui ne la detruis pas en route.

[jobherzt]

Je me doutais que Médiat serait sur le coup

Je plussoie pour l'expression "conserver la structure", c'est pour ca que je prefere l'expression "respecter la structure".

[morph]

Quand on fait des mathématiques, on le fait à l'aide d'un Langage, un langage est constitués de symboles de relation, de symboles de fonction et de symbole de constante.

Je connais pas tout ce qui touche aux langages, mais comme ça intuitivement, une fonction ce serait pas une relation ? (mais parle-t-on du même mot "fonction" ?).

Un symbole de constante je peux voir à peu près de quoi on parle, mais la différence entre symbole de relation et symbole de fonction non.

Pour en revenir au groupe, en fait on définit un morphisme de groupe f : (G, .) -> (G,*) par : pour tout (x,y) de G² f(x.y)=f(x)*f(y) ;

et après on montre comme conséquence de la définition que par exemple (en notant e et e' les neutres des groupes G et G') :

f(e)=e'

mais en fait, si je comprends bien, e et e' serait des symboles de constantes, et donc cette proposition serait en fait déjà présente dans la définition du morphisme, non ? (on transporte les symboles de constantes).

Merci.

[Seirios]

Bonjour,

Une petite question sur les langages : Est-ce que lorsque l'on parle de groupe, on se place dans une théorie (un langage et des axiomes (ici les axiomes qui définissent un groupe)), et qu'alors un groupe est un modèle de la théorie ? Quel langage utilise-t-on usuellement pour la théorie des groupes ?

[invité786754634567890]

Bonjour,

Une structure est un ensemble, et une interprétation de chacun des éléments du langage.

Je suis toujours fasciné par les matheux qui énoncent ce genre de phrases. Je n'y comprend rien.
Sérieusement, j'ai peine à croire qu'un seul mec sur terre puisse percevoir ainsi la notion de structure au premier abord. Si je raconte des trucs pareils à mes étudiants de deug, je suis mal !

Je trouve que ce vocabulaire unificateur laisse croire que toutes les théories tombent du ciel. A mon sens, cela empêche le cheminement intellectuel et la maturation des concepts. Cheminement qui respecte souvent la chronologie des découvertes mathématiques. A cette allure, pourquoi ne pas enseigner au lycée la théorie des algèbres de Banach ou des C-étoile algèbres. Finalement, le début de ces théories, c'est facile, c'est de la manipulation de définitions et par des preuves de 5 lignes, on récupère plein de théorèmes spectraux difficiles à établir ne serait-ce que pour l'espace des matrices.

Il me semble que l'on commence à saisir l'unité du concept de morphisme en l'ayant vu a l'oeuvre dans différents contextes (algèbre linéaire - groupes/anneaux/corps - topologie...). L'idée de la notion comprise dans différents contextes, on intuite très bien ce qu'un mathématicien entend par morphisme, sans pour autant mettre des mots dessus. Et finalement, c'est sans doute la réalité historique : de quand date le terme morphisme, et de quand datent tout ce qu'il englobe ??? A t'on attendu le 19eme siècle pour manipuler des fonctions linéaires ? Galois utilisait t-il ce vocabulaire dans ses travaux ? En topologie, n'a t'on pas manipulé des homéo ou des difféo avec que le terme morphisme n'apparaisse ? Et d'ailleurs, un homéomorphisme : ca n'a rien a voir avec les structures algébrique... le terme morphisme est bien plus riche intuitivement que ce qu'en dit Médiat.

Bref, je donne mon avis. Je suis ouvert à toute critique ou précision sur ce que je raconte.

[Médiat]

Je connais pas tout ce qui touche aux langages, mais comme ça intuitivement, une fonction ce serait pas une relation ? (mais parle-t-on du même mot "fonction" ?).

Si, une fonction est bien une relation avec des propriété particulières, mais ces propriétés sont très utiles pour la définition des termes, des formules atomiques, etc. Cela évite de redonner la définition à chaque fois, on peut même considérer que les constantes sont des fonctions (donc des relations) d'arité 0.

mais en fait, si je comprends bien, e et e' serait des symboles de constantes, et donc cette proposition serait en fait déjà présente dans la définition du morphisme, non ? (on transporte les symboles de constantes).

On peut très bien définir les axiomes de groupe dans le langage qui ne contient que le symbole de fonction (qui correspond à la loi de composition interne), puisque l'élément neutre est définissable, et dans ce langage il n'est pas utile d'inclure le transport du symbole de constante, puisqu'il n'y en a pas dans le langage (par contre on peut démontrer que si on a un morphisme entre 2 groupes alors f(e) = e'. Mais là encore les axiomes de groupes sont plus faciles à écrire avec ce symbole supplémentaire.
Une petite remarque : e et e' sont des constantes car ce sont des éléments des groupes et non des éléments du langage.

[Médiat]

Bonjour,

Une petite question sur les langages : Est-ce que lorsque l'on parle de groupe, on se place dans une théorie (un langage et des axiomes (ici les axiomes qui définissent un groupe)), et qu'alors un groupe est un modèle de la théorie ?

Oui

Quel langage utilise-t-on usuellement pour la théorie des groupes ?

Le plus simple est le langage réduit à un symbole de fonction binaire, mais on peut lui adjoindre un symbole de constante (élément neutre) et un symbole de fonction unaire (l'élément symétrique). Cela ne change en rien les théorèmes que l'on peut démontrer, sauf un peu dans leur écriture, mais cela change un peu certaines propriétés comme l'élimination des quantificateurs (cf. mon document sur l'arithmétique).

[invité786754634567890]

Et d'ailleurs, un homéomorphisme : ca n'a rien a voir avec les structures algébrique... le terme morphisme est bien plus riche intuitivement que ce qu'en dit Médiat.

Enfin non, la définition englobe aussi le cas des homéo. Cependant, ce que je pense de l'introduction de ce vocabulaire reste à mon sens valable. Introduire des éléments de théorie des catégories, c'est indigeste. Encore plus quand le seul objectif est d'endormir le débutant ou l'analyste avec du vocabulaire.

[Médiat]

Bonjour

Je suis toujours fasciné par les matheux qui énoncent ce genre de phrases.

Veuillez avoir l'amabilité de noter que je ne suis pas un matheux, mais un mathématicien.

Je n'y comprend rien.
[...]
Bref, je donne mon avis.

Etrange comme le début et la fin de votre post me paraissent totalement incompatibles.

Sur le fond, vous devriez relire le titre et la question du posteur initial, qui est clairement à la recherche d'une définition générale, et non d'un cas particulier.

Introduire des éléments de théorie des catégories, c'est indigeste. Encore plus quand le seul objectif est d'endormir le débutant ou l'analyste avec du vocabulaire.

Je confirme que vous n'avez rien compris, vous devriez être plus attentif, je n'ai jamais parlé de catégorie, et ma définition n'a rien à voir avec cette théorie !

J'aimerais bien savoir à partir de quelle boule de cristal vous avez pu décider que j'étais animé par un seul objectif : "seul objectif est d'endormir le débutant ou l'analyste avec du vocabulaire".
Non seulement vous n'en savez rien, mais en plus c'est terriblement insultant.

[morph]

Bonjour,

On peut très bien définir les axiomes de groupe dans le langage qui ne contient que le symbole de fonction (qui correspond à la loi de composition interne), puisque l'élément neutre est définissable, et dans ce langage il n'est pas utile d'inclure le transport du symbole de constante, puisqu'il n'y en a pas dans le langage (par contre on peut démontrer que si on a un morphisme entre 2 groupes alors f(e) = e'. Mais là encore les axiomes de groupes sont plus faciles à écrire avec ce symbole supplémentaire.

Merci, j'ai un peu mieux compris avec ça.

Pour en revenir à ce qu'a dit xav75, et en relation avec ce que j'ai lu ici : Logique et théorie des ensembles ;

sa réaction me fait quand même réagir.

Comme tu le dis dans l'autre discussion (cf. le lien) :

Chercher à définir formellement les systèmes formels en n’utilisant que des notions formelles préalablement définies formellement est aussi vain que de chercher un dictionnaire dont les définitions n’utiliseraient que des mots préalablement définis dans ce même dictionnaire.

Donc finalement (et je ne sais pas si je vais utiliser les termes appropriés), on se donne une certaine méthode de formalisme mathématiques (qui ne peut pas être absolue : cf. ta référence au dictionnaire), et on convient que cette méthode est propice à la pratique mathématiques.

Mais en quoi ce "degré" de formalisme est-il plus à même de soutenir la pratique mathématiques qu'une autre méthode formaliste ?

Par exemple : dans les premières années de l'enseignement supérieur on présente le "formalisme des espaces vectoriels" ; on donne un certains nombres d'axiomes, à partir en gros de la notion d'ensembles (plus ou moins intuitifs), et d'application (mais on peut les définir à partir des ensembles).

Mais on ne parle pas de langage et de système formel ; et cette méthode de formalisme est toujours plus formelle que de dire ("on parle de vecteurs, on peut les additionner comme ça, les multiplier par un scalaire comme ça etc ..." c'est à dire la méthode en gros qu'on donne au lycée).

Et avec le formalisme basique des premières années du supérieur, on peut quand même faire un certains nombre de choses sur les espaces vectoriels.

Donc, comment choisit-on le degré de formalisme qu'il "faudrait" utiliser, pour définir les mathématiques.

Pourquoi celui qu'on utilise actuellement, et pas un autre ? (c'est un choix ?).

A quoi sert le formalisme et rempli-t-il bien son rôle aujourd'hui ?

Merci.

[invité786754634567890]

Veuillez avoir l'amabilité de noter que je ne suis pas un matheux, mais un mathématicien.

Il me semble que matheux est un terme assez commun, pas franchement isultant.

à la recherche d'une définition générale

J'ai bien compris. Je dis juste que la recherche d'une telle définition peut rendre les choses plus obscures. Et qu'il est plus naturel de s'en faire une idée intuitive par sa compréhension dans différents contextes. D'autant que dans les contextes que connait l'auteur de la question, il n'est sans doute pas indispensable d'avoir un définition conceptuelle pour faire des maths.
C'est aussi un problème de pédagogie. Je pense qu'il n'est pas naturel d'introduire à des jeunes étudiants des structures trop générales. Enfin bref, c'est un débat classique... Je pense que vous avez compris ma position. Elle n'a rien d'originale.

je n'ai jamais parlé de catégorie, et ma définition n'a rien à voir avec cette théorie

Il ne m'a pas échappé que vous ne parlez pas de catégories. Ceci dit, j'avais un vague souvenir d'une lecture sur les catégories et la définition d'un morphisme qu'on donne dans cette théorie m'a paru moralement voisine que celle que vous donnez.
Je ne connais absolument rien à cette théorie. Je ne vais donc pas polémiquer sur ce point.

Non seulement vous n'en savez rien, mais en plus c'est terriblement insultant.

Oui ce ne pas très courtois. Veuillez m'en excuser. J'ai bien compris que vous êtes un passioné qui cherche à transmettre son savoir. Cela est plus que respectable.

[invite986312212]

et oui, c'est le dada de Médiat : quand les matheux pensent ensembles, applications, etc. lui pense langages, modèles, etc. Et je suis d'accord avec xav75, ce n'est pas la façon la plus pédagogique d'expliquer à un débutant ce qu'est un homomorphisme. Mais en même temps l'intérêt de ce forum c'est la diversité des niveaux de connaissance de ses membres, si bien qu'un débutant peut y apercevoir que les questions qu'il se pose se rattachent à une problématique plus générale que celle qu'il envisageait. parce que pour savoir ce qu'est un homomorphisme, il suffit d'ouvrir un cours d'algèbre.

[Médiat]

Bonjour,

Mais en quoi ce "degré" de formalisme est-il plus à même de soutenir la pratique mathématiques qu'une autre méthode formaliste ?

J'ai l'impression que vous confondez deux choses très différentes : la logique (que tous les mathématiciens utilisent, d'ailleurs vous parlez bien d'axiomes) et les fondements des mathématiques, or clairement je ne me suis bien placé que dans le cadre de la logique, et pas du tout, par exemple, dans ZFC ou dans la théorie des catégories, deux théories qui prétendent, chacune de leut côté, pouvoir fonder la totalité des mathématiques (personnellement, les guerres de chapelles ne m'intéressent pas).

Je n'ai parlé que de langage et de structure, je ne connais pas de mathématiciens qui peuvent se passer de langage, et pas beaucoup qui peuvent se passer de structures (les logiciens purs ne faisant pas de théorie des modèles), et ce sont ceux qui travaillent dans le domaine le plus abstrait.

Mais on ne parle pas de langage et de système formel ; et cette méthode de formalisme est toujours plus formelle que de dire ("on parle de vecteurs, on peut les additionner comme ça, les multiplier par un scalaire comme ça etc ..." c'est à dire la méthode en gros qu'on donne au lycée).

C'est normal, et sans doute souhaitable de commencer par voir des exemples, d'ailleurs, vous avez dû voir les vecteurs avant de voir les espaces vectoriels, ce n'est pas une raison pour ne jamais définir les espaces vectoriels, qui ne vous posent plus de problèmes d'abstraction, si je vous ai bien lu.

Donc, comment choisit-on le degré de formalisme qu'il "faudrait" utiliser, pour définir les mathématiques.

Dans votre question initiale, vous sembliez troublé parce qu'un "morphisme de groupe" n'a pas la même définition qu'un "morphisme d'espace vectortiel", je vous ai donné une définition générale, qui résoud complètement cette apparente dualité.

Pourquoi celui qu'on utilise actuellement, et pas un autre ? (c'est un choix ?).

Parce qu'il marche

A quoi sert le formalisme et rempli-t-il bien son rôle aujourd'hui ?

Il sert à donner un niveau d'abstraction et/ou de généralité supplémentaire, et il marche bien, la preuve : une définition générale des morphismes.