Définition exacte d'un morphisme ?

[morph]

Bonjour,

j'aimerais obtenir une précision au sujet de ce qu'on appelle exactement "morphisme".

Dans le livre que j'ai sous la main, la définition est assez claire :

Pour deux ensembles munis de lois internes :
une application de (E,.) dans (E',*) qui vérifie : f(x.y) = f(x)*f(y).

Mais après on parle aussi de morphisme entre espaces vectoriels, et là on donne une condition sur l'addition vectorielle, mais en plus on précise aussi qu'il faut que f(a.x)=a.f(x).

Wikipédia donne une définition différente et différencie selon les cas (morphismes de groupes, anneaux, espaces vectoriels etc ...) :

En mathématiques, un morphisme ou homomorphisme est une application entre deux ensembles munis d'une même espèce de structure, qui respecte cette structure.

Ça veut dire quoi précisément "conserver la structure" ?
Que toutes les lois de composition (internes et externes) se "transportent" sur l'autre ensemble ?

Ou y a-t-il d'autres conditions (autres que les lois de composition) ?

Merci.
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[Médiat]

Bonjour,

Quand on fait des mathématiques, on le fait à l'aide d'un Langage, un langage est constitués de symboles de relation, de symboles de fonction et de symbole de constante.

Une structure est un ensemble, et une interprétation de chacun des éléments du langage.

Par exemple pour les groupes, on peut envisager le langage (0, .) constitué d'un symbole de constante et d'un symbole de fonction binaire, (Z, 0, +) est la structure constitué de l'ensemble Z, de la constante 0 (il existe bien un élément de Z portant ce "nom"), de la fonction + (que tout le monde connaît sous la forme x + y = z, mais que l'on pourrait écrire +(x, y) = z).

Un morphisme entre deux structures interprétant un même langage (et la définition est indépendantes des axiomes vérifiés pas cette structure) est une fonction qui "transporte" les éléments du langage (l'image de l'interprétation d'une constante dans la structure source est l'interprétation de cette même constante dans la structure cible ; si des éléments sont en relations dans la structure source, alors leurs images sont en relation dans la structure cible ; je vous laisse trouver ce qu'il faudrait dire pour les fonctions)

Quant à "conserver la structure", je me méfie de cette expression : il existe un morphisme de tout groupe non commutatif dans le groupe trivial, et personnellement cela me gène de dire que l'on a "conservé la structure" (alors qu'à l'arrivée on a un groupe commutatif), cette expression ne convient vraiment bien que pour les isomorphismes, et dans une moindre mesure pour les morphismes injectifs.

[invitebe0cd90e]

En fait, respecter la structure, ca veut dire que tu dois obtenir le meme resultat quand tu :

- appliques d'abord un "truc" de la structure (loi de composition interne ou externe, inversion) puis que tu appliques f au resultat
- appliques d'abord f, puis le "truc"

et que les "constantes" (element neutres pour les differentes lois par exemple) sont envoyés par f sur la constante qui correspond.

Dit comme ca ca n'est pas tres rigoureux, mais c'est vraiment l'idée directrice. Une structure c'est un ensemble avec des trucs en plus, qui rajoute quelque chose (l'ensemble des entiers c'est cool mais tu ne peux pas en faire grand chose, tant que tu n'ajoutes pas le fait que tu peux les additionner et les multiplier), et un morphisme c'est une application qui tient compte de cette structure, qui ne la detruis pas en route.

[invitebe0cd90e]

Je me doutais que Médiat serait sur le coup

Je plussoie pour l'expression "conserver la structure", c'est pour ca que je prefere l'expression "respecter la structure".

[A voir en vidéo sur Futura]

[morph]

Quand on fait des mathématiques, on le fait à l'aide d'un Langage, un langage est constitués de symboles de relation, de symboles de fonction et de symbole de constante.

Je connais pas tout ce qui touche aux langages, mais comme ça intuitivement, une fonction ce serait pas une relation ? (mais parle-t-on du même mot "fonction" ?).

Un symbole de constante je peux voir à peu près de quoi on parle, mais la différence entre symbole de relation et symbole de fonction non.

Pour en revenir au groupe, en fait on définit un morphisme de groupe f : (G, .) -> (G,*) par : pour tout (x,y) de G² f(x.y)=f(x)*f(y) ;

et après on montre comme conséquence de la définition que par exemple (en notant e et e' les neutres des groupes G et G') :

f(e)=e'

mais en fait, si je comprends bien, e et e' serait des symboles de constantes, et donc cette proposition serait en fait déjà présente dans la définition du morphisme, non ? (on transporte les symboles de constantes).

Merci.

[Seirios]

Bonjour,

Une petite question sur les langages : Est-ce que lorsque l'on parle de groupe, on se place dans une théorie (un langage et des axiomes (ici les axiomes qui définissent un groupe)), et qu'alors un groupe est un modèle de la théorie ? Quel langage utilise-t-on usuellement pour la théorie des groupes ?

[invitec1ddcf27]

Bonjour,

Une structure est un ensemble, et une interprétation de chacun des éléments du langage.

Je suis toujours fasciné par les matheux qui énoncent ce genre de phrases. Je n'y comprend rien.
Sérieusement, j'ai peine à croire qu'un seul mec sur terre puisse percevoir ainsi la notion de structure au premier abord. Si je raconte des trucs pareils à mes étudiants de deug, je suis mal !

Je trouve que ce vocabulaire unificateur laisse croire que toutes les théories tombent du ciel. A mon sens, cela empêche le cheminement intellectuel et la maturation des concepts. Cheminement qui respecte souvent la chronologie des découvertes mathématiques. A cette allure, pourquoi ne pas enseigner au lycée la théorie des algèbres de Banach ou des C-étoile algèbres. Finalement, le début de ces théories, c'est facile, c'est de la manipulation de définitions et par des preuves de 5 lignes, on récupère plein de théorèmes spectraux difficiles à établir ne serait-ce que pour l'espace des matrices.

Il me semble que l'on commence à saisir l'unité du concept de morphisme en l'ayant vu a l'oeuvre dans différents contextes (algèbre linéaire - groupes/anneaux/corps - topologie...). L'idée de la notion comprise dans différents contextes, on intuite très bien ce qu'un mathématicien entend par morphisme, sans pour autant mettre des mots dessus. Et finalement, c'est sans doute la réalité historique : de quand date le terme morphisme, et de quand datent tout ce qu'il englobe ??? A t'on attendu le 19eme siècle pour manipuler des fonctions linéaires ? Galois utilisait t-il ce vocabulaire dans ses travaux ? En topologie, n'a t'on pas manipulé des homéo ou des difféo avec que le terme morphisme n'apparaisse ? Et d'ailleurs, un homéomorphisme : ca n'a rien a voir avec les structures algébrique... le terme morphisme est bien plus riche intuitivement que ce qu'en dit Médiat.

Bref, je donne mon avis. Je suis ouvert à toute critique ou précision sur ce que je raconte.

[Médiat]

Je connais pas tout ce qui touche aux langages, mais comme ça intuitivement, une fonction ce serait pas une relation ? (mais parle-t-on du même mot "fonction" ?).

Si, une fonction est bien une relation avec des propriété particulières, mais ces propriétés sont très utiles pour la définition des termes, des formules atomiques, etc. Cela évite de redonner la définition à chaque fois, on peut même considérer que les constantes sont des fonctions (donc des relations) d'arité 0.

mais en fait, si je comprends bien, e et e' serait des symboles de constantes, et donc cette proposition serait en fait déjà présente dans la définition du morphisme, non ? (on transporte les symboles de constantes).

On peut très bien définir les axiomes de groupe dans le langage qui ne contient que le symbole de fonction (qui correspond à la loi de composition interne), puisque l'élément neutre est définissable, et dans ce langage il n'est pas utile d'inclure le transport du symbole de constante, puisqu'il n'y en a pas dans le langage (par contre on peut démontrer que si on a un morphisme entre 2 groupes alors f(e) = e'. Mais là encore les axiomes de groupes sont plus faciles à écrire avec ce symbole supplémentaire.
Une petite remarque : e et e' sont des constantes car ce sont des éléments des groupes et non des éléments du langage.

[Médiat]

Bonjour,

Une petite question sur les langages : Est-ce que lorsque l'on parle de groupe, on se place dans une théorie (un langage et des axiomes (ici les axiomes qui définissent un groupe)), et qu'alors un groupe est un modèle de la théorie ?

Oui

Quel langage utilise-t-on usuellement pour la théorie des groupes ?

Le plus simple est le langage réduit à un symbole de fonction binaire, mais on peut lui adjoindre un symbole de constante (élément neutre) et un symbole de fonction unaire (l'élément symétrique). Cela ne change en rien les théorèmes que l'on peut démontrer, sauf un peu dans leur écriture, mais cela change un peu certaines propriétés comme l'élimination des quantificateurs (cf. mon document sur l'arithmétique).

[invitec1ddcf27]

Et d'ailleurs, un homéomorphisme : ca n'a rien a voir avec les structures algébrique... le terme morphisme est bien plus riche intuitivement que ce qu'en dit Médiat.

Enfin non, la définition englobe aussi le cas des homéo. Cependant, ce que je pense de l'introduction de ce vocabulaire reste à mon sens valable. Introduire des éléments de théorie des catégories, c'est indigeste. Encore plus quand le seul objectif est d'endormir le débutant ou l'analyste avec du vocabulaire.

[Médiat]

Bonjour

Je suis toujours fasciné par les matheux qui énoncent ce genre de phrases.

Veuillez avoir l'amabilité de noter que je ne suis pas un matheux, mais un mathématicien.

Je n'y comprend rien.
[...]
Bref, je donne mon avis.

Etrange comme le début et la fin de votre post me paraissent totalement incompatibles.

Sur le fond, vous devriez relire le titre et la question du posteur initial, qui est clairement à la recherche d'une définition générale, et non d'un cas particulier.

Introduire des éléments de théorie des catégories, c'est indigeste. Encore plus quand le seul objectif est d'endormir le débutant ou l'analyste avec du vocabulaire.

Je confirme que vous n'avez rien compris, vous devriez être plus attentif, je n'ai jamais parlé de catégorie, et ma définition n'a rien à voir avec cette théorie !

J'aimerais bien savoir à partir de quelle boule de cristal vous avez pu décider que j'étais animé par un seul objectif : "seul objectif est d'endormir le débutant ou l'analyste avec du vocabulaire".
Non seulement vous n'en savez rien, mais en plus c'est terriblement insultant.

[morph]

Bonjour,

On peut très bien définir les axiomes de groupe dans le langage qui ne contient que le symbole de fonction (qui correspond à la loi de composition interne), puisque l'élément neutre est définissable, et dans ce langage il n'est pas utile d'inclure le transport du symbole de constante, puisqu'il n'y en a pas dans le langage (par contre on peut démontrer que si on a un morphisme entre 2 groupes alors f(e) = e'. Mais là encore les axiomes de groupes sont plus faciles à écrire avec ce symbole supplémentaire.

Merci, j'ai un peu mieux compris avec ça.

Pour en revenir à ce qu'a dit xav75, et en relation avec ce que j'ai lu ici : http://forums.futura-sciences.com/ma...ensembles.html ;

sa réaction me fait quand même réagir.

Comme tu le dis dans l'autre discussion (cf. le lien) :

Chercher à définir formellement les systèmes formels en n’utilisant que des notions formelles préalablement définies formellement est aussi vain que de chercher un dictionnaire dont les définitions n’utiliseraient que des mots préalablement définis dans ce même dictionnaire.

Donc finalement (et je ne sais pas si je vais utiliser les termes appropriés), on se donne une certaine méthode de formalisme mathématiques (qui ne peut pas être absolue : cf. ta référence au dictionnaire), et on convient que cette méthode est propice à la pratique mathématiques.

Mais en quoi ce "degré" de formalisme est-il plus à même de soutenir la pratique mathématiques qu'une autre méthode formaliste ?

Par exemple : dans les premières années de l'enseignement supérieur on présente le "formalisme des espaces vectoriels" ; on donne un certains nombres d'axiomes, à partir en gros de la notion d'ensembles (plus ou moins intuitifs), et d'application (mais on peut les définir à partir des ensembles).

Mais on ne parle pas de langage et de système formel ; et cette méthode de formalisme est toujours plus formelle que de dire ("on parle de vecteurs, on peut les additionner comme ça, les multiplier par un scalaire comme ça etc ..." c'est à dire la méthode en gros qu'on donne au lycée).

Et avec le formalisme basique des premières années du supérieur, on peut quand même faire un certains nombre de choses sur les espaces vectoriels.

Donc, comment choisit-on le degré de formalisme qu'il "faudrait" utiliser, pour définir les mathématiques.

Pourquoi celui qu'on utilise actuellement, et pas un autre ? (c'est un choix ?).

A quoi sert le formalisme et rempli-t-il bien son rôle aujourd'hui ?

Merci.

[invitec1ddcf27]

Veuillez avoir l'amabilité de noter que je ne suis pas un matheux, mais un mathématicien.

Il me semble que matheux est un terme assez commun, pas franchement isultant.

à la recherche d'une définition générale

J'ai bien compris. Je dis juste que la recherche d'une telle définition peut rendre les choses plus obscures. Et qu'il est plus naturel de s'en faire une idée intuitive par sa compréhension dans différents contextes. D'autant que dans les contextes que connait l'auteur de la question, il n'est sans doute pas indispensable d'avoir un définition conceptuelle pour faire des maths.
C'est aussi un problème de pédagogie. Je pense qu'il n'est pas naturel d'introduire à des jeunes étudiants des structures trop générales. Enfin bref, c'est un débat classique... Je pense que vous avez compris ma position. Elle n'a rien d'originale.

je n'ai jamais parlé de catégorie, et ma définition n'a rien à voir avec cette théorie

Il ne m'a pas échappé que vous ne parlez pas de catégories. Ceci dit, j'avais un vague souvenir d'une lecture sur les catégories et la définition d'un morphisme qu'on donne dans cette théorie m'a paru moralement voisine que celle que vous donnez.
Je ne connais absolument rien à cette théorie. Je ne vais donc pas polémiquer sur ce point.

Non seulement vous n'en savez rien, mais en plus c'est terriblement insultant.

Oui ce ne pas très courtois. Veuillez m'en excuser. J'ai bien compris que vous êtes un passioné qui cherche à transmettre son savoir. Cela est plus que respectable.

[invite986312212]

et oui, c'est le dada de Médiat : quand les matheux pensent ensembles, applications, etc. lui pense langages, modèles, etc. Et je suis d'accord avec xav75, ce n'est pas la façon la plus pédagogique d'expliquer à un débutant ce qu'est un homomorphisme. Mais en même temps l'intérêt de ce forum c'est la diversité des niveaux de connaissance de ses membres, si bien qu'un débutant peut y apercevoir que les questions qu'il se pose se rattachent à une problématique plus générale que celle qu'il envisageait. parce que pour savoir ce qu'est un homomorphisme, il suffit d'ouvrir un cours d'algèbre.

[Médiat]

Bonjour,

Mais en quoi ce "degré" de formalisme est-il plus à même de soutenir la pratique mathématiques qu'une autre méthode formaliste ?

J'ai l'impression que vous confondez deux choses très différentes : la logique (que tous les mathématiciens utilisent, d'ailleurs vous parlez bien d'axiomes) et les fondements des mathématiques, or clairement je ne me suis bien placé que dans le cadre de la logique, et pas du tout, par exemple, dans ZFC ou dans la théorie des catégories, deux théories qui prétendent, chacune de leut côté, pouvoir fonder la totalité des mathématiques (personnellement, les guerres de chapelles ne m'intéressent pas).

Je n'ai parlé que de langage et de structure, je ne connais pas de mathématiciens qui peuvent se passer de langage, et pas beaucoup qui peuvent se passer de structures (les logiciens purs ne faisant pas de théorie des modèles), et ce sont ceux qui travaillent dans le domaine le plus abstrait.

Mais on ne parle pas de langage et de système formel ; et cette méthode de formalisme est toujours plus formelle que de dire ("on parle de vecteurs, on peut les additionner comme ça, les multiplier par un scalaire comme ça etc ..." c'est à dire la méthode en gros qu'on donne au lycée).

C'est normal, et sans doute souhaitable de commencer par voir des exemples, d'ailleurs, vous avez dû voir les vecteurs avant de voir les espaces vectoriels, ce n'est pas une raison pour ne jamais définir les espaces vectoriels, qui ne vous posent plus de problèmes d'abstraction, si je vous ai bien lu.

Donc, comment choisit-on le degré de formalisme qu'il "faudrait" utiliser, pour définir les mathématiques.

Dans votre question initiale, vous sembliez troublé parce qu'un "morphisme de groupe" n'a pas la même définition qu'un "morphisme d'espace vectortiel", je vous ai donné une définition générale, qui résoud complètement cette apparente dualité.

Pourquoi celui qu'on utilise actuellement, et pas un autre ? (c'est un choix ?).

Parce qu'il marche

A quoi sert le formalisme et rempli-t-il bien son rôle aujourd'hui ?

Il sert à donner un niveau d'abstraction et/ou de généralité supplémentaire, et il marche bien, la preuve : une définition générale des morphismes.

[Médiat]

et oui, c'est le dada de Médiat : quand les matheux pensent ensembles, applications, etc. lui pense langages, modèles, etc.

Je ne vais pas le nier

ce n'est pas la façon la plus pédagogique d'expliquer à un débutant ce qu'est un homomorphisme.

Justement morph ne demandait pas la définition d'un "morphisme de groupe", ou la définition d'un "morphisme d'espace vectoriel", notions qu'il connait, mais voulait comprendre pourquoi il y avait plusieurs définitions pour un même mot, pour une même notion ; il m'a semblé que lui montrer (de façon simplifiée par rapport à mes habitudes) qu'il n'y avait bien qu'une seule définition, répondait exactement à sa question.

[Médiat]

Il me semble que matheux est un terme assez commun, pas franchement isultant.

Comme journaleux pour journalistes ?

Je dis juste que la recherche d'une telle définition peut rendre les choses plus obscures.

Alors il vous fallait expliquer à morph qu'il posait une mauvaise question

Il ne m'a pas échappé que vous ne parlez pas de catégories.

pas évident, après avoir écrit :

Introduire des éléments de théorie des catégories, c'est indigeste

Ceci dit, j'avais un vague souvenir d'une lecture sur les catégories et la définition d'un morphisme qu'on donne dans cette théorie m'a paru moralement voisine que celle que vous donnez.

Vous avez un mauvais souvenir : dans la théorie des catégories, les morphismes sont simplements les flèches de la catégorie, dont les axiomes n'ont rien à voir avec la définition que j'ai donnée.

[invitebe0cd90e]

je pense que ces points de vue ne s'opposent pas.

A l'origine, je suis persuadé qu'il est fondamental de comprendre que ces definitions ne tombent pas du ciel. Que les groupes, les anneaux, ont ete introduit pour parler dans un langages commun d'objets de la "vraie vie", ou pour generaliser des notions qu'on connait dans des exemples particuliers (les anneaux euclidiens pour Z par exemple).

A partir de la, les notions de morphisme qui correspondent sont "naturelles", on veut pouvoir se ballader d'un objet a un autre en gardant la "trace" de la structure qu'on y a mis. c'est fructueux de "sentir" que les definitions de morphismes se ressemblent, le jour ou j'ai decouvert les modules, les algebres de Hopf, je n'ai pas eu a attendre qu'on me l'explique pour savoir ce que seraient les morphismes correspondants.

Partir d'office sur une approche mecanique et purement formelle, c'est passer a coté de la "raison d'etre" de ces objets, et de l'intuition que cela apporte. Ceci dit, on a quand meme affaire a un jeu d'axiome, et comprendre que quand on prouve une proposition vraie pour n'importe quel groupe, ou n'importe quel groupe abelien, et bien sans le savoir on fait de la logique pure, on travaille dans une certaine theorie au sens precis du terme, c'est aussi fructueux. Comprendre que la theorie des groupes et ses axiomes permet de montrer des "meta resultat", que l'on va "instancier" dans des groupes particulier des lors qu'on en a besoin. c'est l'autre versant, et c'est evidemment tout l'interet de s'etre fatigué a "extraire" un systeme d'axiome de notions plus intuitives comme des groupes de permutations, par exemple.

En resumé, d'un coté on comprend pourquoi c'est interressant de travailler avec des axiomes "purs". De l'autre, on intuite la raison d'etre du choix de tels axiomes et pas de tels autres.

Finalement, il est instructif de donner une definition de "morphisme" qui se place aussi au niveau meta, voire au niveau meta-meta et qui se specialise en chacune des notions de morphisme qu'on connait, ces notions se specialisant ensuite elles meme en des morphismes concrets.

[invite986312212]

en théorie des catégories, on parle de morphismes d'une façon très générale, qui englobe les homomorphismes de l'Algèbre, les homéo- et difféo- morphismes de la Topologie et Géométrie, mais qui va bien au-delà puisqu'il ne s'agit même pas nécessairement d'applications.

si on se restreint aux morphismes de l'Algèbre, une définition informelle mais assez générale est qu'un morphisme est une application qui commute avec les lois de composition (comme les lois ne sont a priori pas les mêmes dans l'ensemble de départ et dans l'ensemble d'arrivée, cette définition est très informelle si j'ose dire).
Si on parle topologie, un morphisme va être une application telle que l'image réciproque d'un ouvert est un ouvert.
Est-ce qu'on peut réunir ces deux notions en une seule définition informelle (bon, ça va pas plaire à Médiat, cette idée de définition informelle). En fait, je ne vois pas avec quoi commute un homéomorphisme.

[Médiat]

Est-ce qu'on peut réunir ces deux notions en une seule définition informelle (bon, ça va pas plaire à Médiat, cette idée de définition informelle).

Il me semble que la difficulté est profonde, je crois bien (je suis sur ) que l'on peut définir une catégorie dont les objets seraient les groupes ; les flèches (les morphismes) seraient de simples applications ; bien sur une telle définition serait une pure violation de l'esprit des catégories (et de plus serait sans intérêt), et il ne faudrait surtout pas l'appeler "la catégorie des groupes" mais formellement, ce n'est pas interdit pas la définition des catégories.

[invite986312212]

comme sur tout ensemble on peut mettre une structure de groupe (de plusieurs façons, mais ces groupes seront isomorphes si les morphismes sont toutes les applications), cette catégorie n'est autre que la catégorie des ensembles... enfin je n'en suis pas très sûr.

[Médiat]

comme sur tout ensemble on peut mettre une structure de groupe (de plusieurs façons, mais ces groupes seront isomorphes si les morphismes sont toutes les applications), cette catégorie n'est autre que la catégorie des ensembles... enfin je n'en suis pas très sûr.

Et oui, c'est bien cela .

[invitec1ddcf27]

[QUOTE=Médiat;3093506]
Comme journaleux pour journalistes ?
[QUOTE]

Vous êtes de mauvaise fois.

[QUOTE=Médiat;3093506]
Alors il vous fallait expliquer à morph qu'il posait une mauvaise question
[QUOTE]

C'est exactement ce que je voulais lui faire comprendre. D'ailleurs, à la vue de son dernier message, je le sens un peu perdu. Bref, j'ai un peu d'expérience d'enseignement en L1/L2 et je sais très bien que l'algèbre c'est déjà suffisament obscur pour bon nombre d'étudiants pour ne pas les noyer dans trop de vocabulaire.

Fin de la polémique de mon coté. Mais si je fais l'effort de considérer qu'un logicien soit matheux, faites l'effort d'admettre qu'une majorité de matheux est hermétique à la logique et préfére intuiter les objets plutot que manipuler des définitions et des axiomes.

Cordialement.

[Médiat]

admettre qu'une majorité de matheux est hermétique à la logique et préfére intuiter les objets plutot que manipuler des définitions et des axiomes.

Pourvu que vous vous trompiez ! Laissez-moi espérer que l'enseignement supérieur est dans bien meilleur état que cela, et que la majorité des mathématiciens connait et comprend les définitions et les axiomes.

[invitec1ddcf27]

Laissez moi penser que si les matheux s'étaient trop préoccupés de logique, le patrimoine mathématique serait bien mince !
Il est évident que les effort de rigueur ces derniers siècles ont été très fécond. Il est tout aussi évident que de tout logiciser de manière obsessionnelle est davantage stérile.

Même s'il est indispensable de ne pas mélanger axiomes, définitions, propositions... il ne faut pas oublier que l'activité essentielle du matheux (en tout cas de l'analyste), c'est de calculer, majorer, minorer, approcher, etc... Alors, je suis attéré quand j'entend des étudiants dire tranquillement que les calculs, c'est chiant. Les calculs sont l'essence des maths. Et à mon avis si le niveau de l'enseignement diminue, c'est autant la faute du manque d'abstraction que l'incapacité et de le refus de calculer de trop de gens !!! (légère déviation du sujet initial... mais dans la même thématique)

[Médiat]

Laissez moi penser que si les matheux s'étaient trop préoccupés de logique, le patrimoine mathématique serait bien mince !

Mince, oh oui, mais par excès de finesse, par par manque de matière !

Il est tout aussi évident que de tout logiciser de manière obsessionnelle est davantage stérile.

Si c'est évident, je suis sur que vous allez pouvoir nous donner rapidement une bonne dizaine d'exemples !

[morph]

C'est exactement ce que je voulais lui faire comprendre. D'ailleurs, à la vue de son dernier message, je le sens un peu perdu.

Dans ma question initiale je souhaitais comprendre comment fonctionnait la définition du morphisme.

Je pensais bien qu'il existait une définition plus générale que celle que je possédais ; et son existence me suffit pour l'instant. Si je dois travailler sur des groupes ou des espaces vectoriels, je sais que j'ai la définition moins générale : rien n'empêche de faire la part des choses et de jouer avec les différentes définitions suivant le cas.

Mais il est vrai que je n'ai pas vraiment les notions pour bien comprendre. Mais le formalisme et la logique m'intéresse quand même.

Pourvu que vous vous trompiez ! Laissez-moi espérer que l'enseignement supérieur est dans bien meilleur état que cela, et que la majorité des mathématiciens connait et comprend les définitions et les axiomes.

Là par contre je dois un peu prendre le contre pied, un de mes bons profs à la fac, ne se souvenait par exemple plus des axiomes de la théorie des ensembles, et il en rigolait, il m'a fait comprendre que ce n'était pas très important dans ce qu'il faisait (géométrie algébrique).

Et c'est un bon prof, il y a pire.

Alors, je suis attéré quand j'entend des étudiants dire tranquillement que les calculs, c'est chiant. Les calculs sont l'essence des maths. Et à mon avis si le niveau de l'enseignement diminue, c'est autant la faute du manque d'abstraction que l'incapacité et de le refus de calculer de trop de gens !!!

Bof. Dans les première années d'études, j'ai plutôt l'impression que c'est le formalisme qui n'est pas trop apprécié des étudiants.

[Médiat]

Là par contre je dois un peu prendre le contre pied, un de mes bons profs à la fac, ne se souvenait par exemple plus des axiomes de la théorie des ensembles, et il en rigolait, il m'a fait comprendre que ce n'était pas très important dans ce qu'il faisait (géométrie algébrique).

Aucun mathématicien n'est obligé de connaître par coeur les axiomes des théories qu'il n'utilise pas, il n'y a aucun problème ici ; par contre comme spécialiste de la géométrie algébrique, je suppose qu'il connaît la théorie des modèles (c'est de la logique pure) qui s'est révélée très fructueuse en géométrie algébrique :

1. Introduction à la théorie des modèles : la logique a permis de façon un peu surprenante de démontrer des énoncés mathématiques difficiles de façon extrêmement simple. Le but du stage de recherche est d'en comprendre un exemple, le théorème d'Ax : soit X?Cn un sous-ensemble défini par des équations polynomiales. Soit f : Cn ? Cn polynomiale. Alors, si f induit une injection de X dans X, alors f induit une bijection de X. La preuve consiste essentiellement à justifier la phrase suivante : on peut supposer que C est un corps … fini !

Quant à la théorie des ensembles, on peut faire une très belle carrière de mathématicien sans un connaître un seul axiome, cela ne me pose aucun problème.

[invitec1ddcf27]

Dans les première années d'études, j'ai plutôt l'impression que c'est le formalisme qui n'est pas trop apprécié des étudiants.

Parce qu'on donne des calculs très faciles. Et que les étudiants branlleurs (assez nombreux en L1) ont l'impression de pouvoir y arriver sans lire une ligne du cours.
Mais pour les gens qui suivent, les maths molles ou ce que tu appelles "le formalisme" finit toujours par rentrer à l'usure, même si ce n'est qu'en maitrise. Alors qu'être nul techniquement, c'est un véritable problème qu'il est bcp plus dur de régler !
Il suffit de voir qu'en maitrise, pas mal d'étudiants préférent un cours d'analyse fonctionnelle à un cours plus technique d'analyse complexe ou de calcul différentiel. Enfin, c'est ce que j'ai constaté...

[invite986312212]

Là par contre je dois un peu prendre le contre pied, un de mes bons profs à la fac, ne se souvenait par exemple plus des axiomes de la théorie des ensembles, et il en rigolait, il m'a fait comprendre que ce n'était pas très important dans ce qu'il faisait (géométrie algébrique).

Et c'est un bon prof, il y a pire.

oui mais attention à ne pas prendre tout ce que disent les profs au pied de la lettre: il peut être de bon ton de prétendre ne pas se souvenir des axiomes de la théorie des ensembles. J'ai eu moi-même un prof férocement "anti-bourbakiste" qui tenait à peu près le même discours. Ca me fait penser à Louis Armstrong prétendant être incapable de lire une partition.
Quant à ton prof, il ne se souvient peut-être pas de la lettre des axiomes mais il en connaît sûrement l'esprit (un formaliste dira que tout est dans la lettre...)