Définition exacte d'un morphisme ?

[invite986312212]

je complète mon propos: supposons qu'on donne à un étudiant la définition formelle (un ensemble fini et un sous-ensemble de l'ensemble des paires d'éléments du premier) en lui cachant qu'il s'agit de graphes. Quelles sont les chances pour que de lui-même il s'intéresse à la question de l'existence d'un circuit hamiltonien? Alors que si on fait un dessin, l'idée de considérer des cheminements le long des arêtes vient tout de suite à l'esprit (là je m'avance peut-être, il faudrait faire l'expérience).
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[invité576543]

Certes. Mais dans l'autre sens, il y a de nombreux problèmes qui se résolvent par la théorie des graphes et qui ne se présentent pas d'emblée sous la forme de points du plan et d'arcs. (C'est l'exposé du problème qui "cache qu'il s'agit de graphes".)

En présentant un modèle particulier (points du plan), on peut handicaper sérieusement la capacité de reconnaître un graphe sous des formes très différentes. Seule la définition la plus générale permet une telle reconnaissance.

L'intérêt de l'abstraction mathématique me semble être très exactement ces possibilités d'utiliser des outils identiques pour des problèmes apparemment très différents. On ne peut alors donner la pleine puissance de l'outil qu'en en donnant sa définition la plus abstraite, non?

Maintenant, le but n'est peut-être pas de donner à tout le monde la pleine puissance de tout outil ! Restreindre l'outil à des cas particuliers peut être une approche pédagogique correcte, selon. Mais il peut y avoir aussi des personnes pour lesquelles importe de maîtriser la pleine puissance de l'outil.

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Et en passant un cran au-dessus, y a-t-il autre chose en mathématiques que des structures abstraites Comment comprendre ce que sont les mathématiques, et leurs pleine puissance, si on ne comprend pas la notion de structure?

Mais là encore, on peut utiliser les mathématiques de manière restreinte sans avoir besoin de, et/ou sans chercher à, comprendre ce que sont les mathématiques...

[Médiat]

Je redis encore une fois : il n'y a aucune raison d'opposer intuition et formalisme ce sont les deux côtés d'une même médaille, les deux jambes de quelqu'un qui marche etc. les deux sont nécessaires, le dosage peut changer en fonction de la théorie et du mathématicien, mais jamais à 0%/100%.

Je l'ai déjà écrit ici plusieurs fois, l'intuition est aux mathématiciens ce que la langue est à Esope : la meilleure et la pire des choses.

Je ne pense pas que l'on ai jamais étudié une théorie dont les axiomes auraient été tirés aux hasard et qui se serait révélée intéressante, et je suis bien persuadé que nombre de propositions n'auraient jamais été émises en ne se fiant qu'à l'intuition (cf. la difficulté à faire comprendre l'intérêt de l'axiome du choix, voire toute la théorie des ensembles (il suffit de voir les réactions premières (qui durent encore) aux travaux de Cantor).

je ne sais pas mais par exemple, quand on lit cette définition d'un graphe, on se dit aussitôt: "et si on prenait des ensembles à 3 éléments au lieu de 2 (les arêtes)?".

Vous voyez que le formalisme peut être fécond en terme d'imagination, et dans votre exemple, plus que l'intuition
D'ailleurs, pourquoi 3 et pas n (fixé), et des tas de variantes qui me viennent en tête (si je publie quelque chose sur cette théorie, je vous citerai comme inspirateur ).

[invite4ef352d8]

Je me permet de venir mettre mon grain de sel dans tous ca.

d'abord je pense que le cadre donné par Médiat ne répond pas complètement à la question dans le sens, ou un certain nombre de structure ne rentre pas dedans, typiquement les espaces topologiques et leur "morphismes" (les applications continu) ne rentre pas dans ce cadre, de même les espaces Banach et les applications linéaire continu non plus.
de plus (mais la c'est un point vu personnel, motivé par des arguments catégorique) je pense que certaine "théorie" ne devrait pas être qualifié de strucutre : par exemple je n'ai pas du tout envie de considérer ZF comme une structure, à cause des axiomes qui assure l'existence d'un objet sans ni le caractériser ni qu'il fasse parti du langage (bref, sans qu'il soit conservé par les morphismes) ce qui empeche de considérer des choses comme "l'objet libre à n générateur" de cette structure (ce qu'on peut faire pour toute les structures algébrique : module, anneau etc...).


Tout ca pour dire, qu'honètement je n'ai jammais vu une définition vraiment satisfaisante de ce qu'est une structure (sauf des cas particulier, comme les structures algébrique ou les structures alpha-algébrique, les première étant un cas particulier de ce dont parle Médiat, les secondes non ).


De même je dirais aussi que Non, contrairement à ce que beaucoup de gens on dit ici, on a pas de "notion intuitive" de ce qu'est un morphisme : juste une longue liste non exhaustive d'exemple de morphismes, et quelques cas un peu plus généraux qui permettent parfois de deviner certain exemples (par exemples, les morphismes de bigèbre qui ont été mentionné plus haut). Mais si quelqu'un trouve par exemple que "l'application f tel que f^(-1)(U) est un ouvert pour tout ouvert U" est la notion de morphisme qui vient naturellement une fois qu'on a défini ce qu'est une topologie, je serais très curieux d'entendre ces arguments (non vraiment, ca m'interesse ! )

Maintenant, le point de vue catégorique la dessus (qui à mon avis est celui qui répond le mieux à la question) c'est que ce qui est un important dans le terme "morphisme" c'est pas la définition de ce que c'est, mais ce qu'on a le droit de faire avec : les composé d'une part, l'identité est toujours un morphismes, on a une notion d'isomorphisme, de morphisme injectif/surjectif ainsi que toutes les constructions catégorique beaucoup trop riche pour être listé ici.
et finalement, la "strucutre" c'est "tous ce qui est conservé par les morphismes", et c'est une notion qui est défini par les morphismes plus que le contraire. (c'est dans l'essence ce que dit le lemme de Yoneda).

[invite4ef352d8]

Oh, et je tiens aussi à dire que l'objectif des catégories n'est pas du tous de fournir un cadre pour fonder les mathématiques, mais plutôt d'être un outil pratique pour guider l'intuition.

[Médiat]

Bonjour,

je pense que certaine "théorie" ne devrait pas être qualifié de strucutre :

Aucune théorie n'est une structure

par exemple je n'ai pas du tout envie de considérer ZF comme une structure, à cause des axiomes qui assure l'existence d'un objet sans ni le caractériser ni qu'il fasse parti du langage

C'est le cas de toutes les théories axiomatiques.

(bref, sans qu'il soit conservé par les morphismes)

Je ne comprends pas ce que vous voulez-dire

ce qui empeche de considérer des choses comme "l'objet libre à n générateur" de cette structure (ce qu'on peut faire pour toute les structures algébrique : module, anneau etc...).

Et comment faites-vous pour les relations d'ordres, d'équivalence etc.

Maintenant, le point de vue catégorique la dessus (qui à mon avis est celui qui répond le mieux à la question)

Qui y répond sans y répondre, puisque justement les morphismes n'y sont définis que par ce que l'on peut faire avec (comme pour ZF et les ensembles).

PS : il va de soi que je n'ai rien contre les catégories, mais cela ne m'avait pas semblé être le bon cadre pour répondre à la question initiale, où il était question de groupes, d'espaces vectoriels et de structure (justement), et qu'il fallait unifier ces 3 aspects, pas forcément parler de diagrammes commutatifs.

[Médiat]

Oh, et je tiens aussi à dire que l'objectif des catégories n'est pas du tous de fournir un cadre pour fonder les mathématiques, mais plutôt d'être un outil pratique pour guider l'intuition.

Certains défendent cette idée, mais comme je l'ai déjà dit, la question de la pré-éminence des catégories ou de ZF dans ce cadre ne m'intéresse absolument pas. Nous ne nous battrons pas sur ce point .

[invite986312212]

Mais si quelqu'un trouve par exemple que "l'application f tel que f^(-1)(U) est un ouvert pour tout ouvert U" est la notion de morphisme qui vient naturellement une fois qu'on a défini ce qu'est une topologie, je serais très curieux d'entendre ces arguments (non vraiment, ca m'interesse ! )

voici un argument qui vaut ce qu'il vaut: puisqu'une topologie sur E est la donnée d'une partie de P(E) et rien d'autre, on n'a pas beaucoup de choix pour la défnition d'un morphisme f de E dans F: soit on impose que l'image d'un ouvert est un ouvert, soit l'inverse. La première condition a le défaut de mal se comporter vis à vis des intersections, alors qu'avec les images réciproques ça se passe bien. On pourrait dire aussi que la première condition exclut en général les applications constantes (mais est-ce un problème?)

[invité576543]

finalement, la "strucutre" c'est "tous ce qui est conservé par les morphismes", et c'est une notion qui est défini par les morphismes plus que le contraire. (c'est dans l'essence ce que dit le lemme de Yoneda).

Est-ce que morphisme et structure ne serait pas une de ces nombreuses paires de concepts qui se définissent mutuellement, ou plutôt qui ne se définissent que conjointement ?

[Turgon]

Bonjour.

Je trouve le sujet discuté ici intéressant quoique je ne soit pas en mesure de l'éclairer comme vous le faites depuis le début du débat.

Je souhaiterais juste quelques indications sur la théorie des catégories qui me parait très intéressante, étant donné ce que j'en entend un peu partout; pour parler de structure et de morphisme. Au passage je ne connais pas du tout cette théorie (au mieux puis-je me concéder les toutes premières définitions à savoir les objets d'une catégorie, les flèches Hom(A,B) entre les objets A et B et les propriété de la loi °).

Trêve de bavardage, j'aurais voulu qu'on me détaille la démarche en théorie des catégorie dans une espèce de structure précise: prenons les groupes.
Comment donc est défini un groupe avec les outils des catégories, comment y retrouve-t-on les propriétés fondamentales de ce type de structure (une ou deux me suffiraient ne vous inquiétez pas)?

Par ailleurs je me rend compte que ma questions peux sans doute être abordée (et peut-être doit l'être) sous un jour différent suite à la remarque selon laquelle en théorie des catégories, le morphisme lui-même peut donner des informations sur la structure, ce que je trouve très intéressant. Cela signifie-t-il que le morphisme de groupe est défini avant les groupes eux-même lorsque l'on se place dans la théorie des catégories?

Bref, j'espère des réponses qui pourront m'aider à aborder cette théorie et j'espère (je ne crois pas) trop dévier du sujet initial.

Merci d'avance.

[invité576543]

voici un argument qui vaut ce qu'il vaut: puisqu'une topologie sur E est la donnée d'une partie de P(E) et rien d'autre, on n'a pas beaucoup de choix pour la défnition d'un morphisme f de E dans F: soit on impose que l'image d'un ouvert est un ouvert, soit l'inverse. La première condition a le défaut de mal se comporter vis à vis des intersections, alors qu'avec les images réciproques ça se passe bien. On pourrait dire aussi que la première condition exclut en général les applications constantes (mais est-ce un problème?)

Dans mon message précédent, j'aurais dû écrire "structure et isomorphisme".

Je réalise que si la notion d'isomorphisme me semble (peut-être à tort) claire, celle de morphisme me l'est bien moins.

Dans de nombreux cas, on peut comprendre un morphisme comme un isomorphisme (par exemple dans le cas injectif comme un isomorphisme entre l'ensemble de départ et l'image). Mais pas toujours.

Et le cas de la structure topologique est assez exemplaire pour cela, car j'ai du mal à voir quel isomorphisme est sous-jacent à un morphisme.

[invite4ef352d8]

"Aucune théorie n'est une structure" >>>> Là on a juste un problème de vocabulaire... qu'appelle tu strucutre ? quel différence concrète fait tu entre "théorie des groupes" et "structure de groupe"

C'est le cas de toutes les théories axiomatiques.>>>> justement non, je n'ai volontairement pas donné un énoncé précis car je ne suis pas capable de le faire du point de vue logique (je ne connais que la version catégorique de tous ceci) mais tu as un certain nombres de théorie comme la théorie des groupes, la théorie des ensemble (pas ZF mais la théorie vide, dont les modèles sont juste des ensembles) ou des ensembles pointé, la théorie des ensemble ordonne, la théorie des modules sur un anneau, la théorie des M-ensemble pour un monoide M etc etc... ou les seuls axiomes sont des "relation" entre les fonctions et les relation binaire de ton language, il n'y a aucun axiome d'existence d'objet ni aucune conjonction de relation.

pour tous ces types de théorie, la catégories des modèles a d'excellente propriété (elle est finement localement présentable pour être précis).


"Je ne comprends pas ce que vous voulez-dire" >>> par exemple, "l'ordinal infini" dont l'existence est prédite par l'axiome de l'infini, n'est pas un objet qui est conservé par un morphisme de modèle, du coup si on reformule la théorie en ajoutant un symbole "u" au langage de la théorie des ensemble, et en remplacant l'axiome de l'infini par qqch qui dit "u n'est pas un ordinal fini" on change de facon considérable la théorie considérer... alors que par exemple dans le cas de l'élément neutre d'un groupe, remplacer l'axiome d'existence par un symbole du langage et un axiome décrivant ces propriété ne change pas grand chose (concrètement, la catégorie des modèles - équipé de son foncteur d'oubli - est équivalente)



Et comment faites-vous pour les relations d'ordres, d'équivalence etc. >>> je n'ai pas compris ce que vous vouliez dire ? vous parlez de la théorie des ensemble ordonné ?


en fait je me rend compte que je n'aurais probablement pas du parler de ceci... autant je sais très bien à quoi je faisait référence d'un point de vue catégorique, autant je me rend compte que d'énoncé concretement à quoi ca correspond du point de vue de la logique et beaucoup plus complexe que ce que je pensais...
Le point principale que je voulais soulever, c'est que le cadre des théorie axiomatique tel que vous l'avez présenté ne rend pas compte de tout les types de structure qu'on peut rencontré...

[invite4ef352d8]

Pour Turgon : il faudrait que tu jette un petit coup d'oeil sur wikipédia par exemple à la notion de foncteur, et au lemme de Yoneda.

mais avant de bien comprendre l'interet de ce que je vais raconter (qui n'est pas du tous frapant dans un premier temps) il vaut mieux commencer par voir la théorie des catégorie comme un langage permettant de transposer des conceptes que tu maitrise sur une catégorie à toutes les autres : la notion de produit d'objet, de somme d'objet, d'objet libre, d'objet projectif, d'objet de type fini etc etc...
ou finalement la question qu'on ce pose n'est pas qu'est-ce qu'une structure/un moprhisme mais plutot : si on nous donne une structure et des morphismes que peut-on faire avec ?

maintenant l'idée de tous ceci, c'est que quand on considère la "catégorie des groupes" (les objets sont les groupes, les fléches sont les morphisme de groupe) elle contiens toute les informations qu'on peut vouloir sur les groupes. le Lemme de Yoneda dit essentiellement qu'on peut reconstruire un groupe G à partir du foncteur H->Hom(G,H) (ou encore à partir du foncteur H->Hom(H,G) ). ce qui est enfait en sois une trivialité.
Je vais donner un exemple concret :
si on part d'un groupe G quelconque, on retrouve les "point de G" (l'ensemble sous-jacent) comme étant les morphismes Hom(Z,G), où Z est le groupe (Z,+) (groupe libre sur un générateur), pour retrouver l'element neutre de G, c'est simple parmis les morphisme des Z->G c'est celui qui ce factorise en Z->0->G ou 0 est le groupe nul, pour retrouver la structure de groupe de G, il faut d'abord remarqué que Hom(F_2,G)=GxG où F_2=(a,b) est le groupe libre à deux elements (un morphisme de F_2 dans G est entierement déterminé par l'image de chacun des deux générateurs...)

de plus on a un morphisme Z->F_2 qui envoi 1 sur a*b, si tu considére un morphisme F_2 ->G, tu peux en déduire un morphisme de Z->G en composant par ce morphisme de Z->F_2, et bien (exercice ! ) cette opération qui permet de passer d'un element de GxG a un element de G c'est la loi de groupe !

enfait, la on vient de montrer qqch de beaucoup plus précis que le lemme de Yoneda, qui dirait qu'essentiellement si on note C la catégorie formé par juste les objets 0,Z et F_2 et leur morphismes la catégorie des groupes et équivalente à la catégorie des foncteurs contravariant de f:C->Ensemble vérifiant et f(0)={a} f(F_2)=f(Z)*f(Z) via certain morphisme naturel donné par la fonctorialité de F. ces conditions pouvant être énoncé comme des conditions de comutation aux limites, ou encore comme des conditions de platitude, qui sont des conceptes très généraux en catégorie...

[Médiat]

"Aucune théorie n'est une structure" >>>> Là on a juste un problème de vocabulaire... qu'appelle tu strucutre ? quel différence concrète fait tu entre "théorie des groupes" et "structure de groupe"

La "théorie des groupes" est un ensembles de propositions (les axiomes que vous connaissez, et toutes leurs conséquences), un groupe, c'est une structure (au sens que j'ai défini plus haut) réalisant le langage de la théorie des groupes, et vérifiant les axiomes de la théorie des groupes (donc un modèle de la théorie des groupes).

C'est le cas de toutes les théories axiomatiques.>>>> justement non, je n'ai volontairement pas donné un énoncé précis car je ne suis pas capable de le faire du point de vue logique (je ne connais que la version catégorique de tous ceci) mais tu as un certain nombres de théorie comme la théorie des groupes, la théorie des ensemble (pas ZF mais la théorie vide, dont les modèles sont juste des ensembles) ou des ensembles pointé, la théorie des ensemble ordonne, la théorie des modules sur un anneau, la théorie des M-ensemble pour un monoide M etc etc... ou les seuls axiomes sont des "relation" entre les fonctions et les relation binaire de ton language, il n'y a aucun axiome d'existence d'objet ni aucune conjonction de relation.

Sous réserve que je comprenne ce que vous voulez dire : Qu'est-ce que cela change ? Je ne vois pas la différence, sous cet angle entre la théorie des groupes où un axiome affirme l'existence de l'élément neutre, et ZF où un axiome affirme l'existence de l'ensemble vide.

pour tous ces types de théorie, la catégories des modèles a d'excellente propriété (elle est finement localement présentable pour être précis).

Je vous crois sur parole, mais je ne vois pas la différence que cela fait du point de vue de la logique du premier ordre.

"Je ne comprends pas ce que vous voulez-dire" >>> par exemple, "l'ordinal infini" dont l'existence est prédite par l'axiome de l'infini, n'est pas un objet qui est conservé par un morphisme de modèle, du coup si on reformule la théorie en ajoutant un symbole "u" au langage de la théorie des ensemble, et en remplacant l'axiome de l'infini par qqch qui dit "u n'est pas un ordinal fini" on change de facon considérable la théorie considérer... alors que par exemple dans le cas de l'élément neutre d'un groupe, remplacer l'axiome d'existence par un symbole du langage et un axiome décrivant ces propriété ne change pas grand chose (concrètement, la catégorie des modèles - équipé de son foncteur d'oubli - est équivalente)

Là encore je ne vous suis pas, il est clair, avec la définition que j'ai donnée, que la modification du langage modifie les morphismes, puisque ceux-ci s'appuient sur le langage, mais je ne vois pas en quoi cela fait problème ; vous comparer une théorie avec un élément qui est définissable avec une théorie avec un élément, mais qui n'est pas définissable, qu'il y ait des différences n'est pas étonnant ; ajouter au langage de ZF un symbole de constante pour représenter le plus petit ordinal infini, et le point (je ne vois pas en quoi c'est un problème) que vous soulevez est résolu.

Et comment faites-vous pour les relations d'ordres, d'équivalence etc. >>> je n'ai pas compris ce que vous vouliez dire ? vous parlez de la théorie des ensemble ordonné ?

Je parle de "theorie des relations d'ordre", et "théorie des relations d'équivalence", toutes deux dans le langage égalitaire ne contenant qu'une relation binaire, dans lesquels je ne vois pas ce que peut être "l'objet libre à n générateur".

[Turgon]

Merci ksilver pour ta réponse.

Je vais jeter un coup d'œil aux notions que tu m'indique étant donné qu'elles me sont inconnues; sans elles je crains de ne pouvoir te commenter ta réponse, des éléments de compréhension me faisant défaut.

Je suppose que tu indique le produit F*F lorsque tu note F_2 (j'ai hésité car habitué à ce que le trait d'union bas indique les indices). Je trouve intéressante ta remarque selon laquelle la théorie des catégories se préoccupe plus de la manipulations des structures et des morphismes que de leurs définitions, cela me rappelle l'étude des structures elle même qui sans se préoccuper de définir les objets et les lois de compositions, se préoccupent à partir d'axiomes de leurs manipulations.

Je reviendrai peut-être plus tard sur ta réponse .

[invite4ef352d8]

Turgon : non ce que j'ai noté F_2 c'est le groupe libre à deux générateur. c'est à dire le groupe engendré par deux element (disons a et b) ne vérifiant acune relation particulière, ces elements s'écrivent comme des mots en a,b,a^(-1) et b^(-1). si tu n'as jammais rencontré cette notion, tu peux reprendre tout mon message en remplacant les groupes par des groupes abélien, F_2 par Z² et la fléche 1->a*b par la fléche 1->(1,1) ca reviendra au même (sauf qu'on travaillera avec la catégorie des groupes abéliens au lieux de elle des groupes ^^ )

Je parle de "theorie des relations d'ordre", et "théorie des relations d'équivalence", toutes deux dans le langage égalitaire ne contenant qu'une relation binaire, dans lesquels je ne vois pas ce que peut être "l'objet libre à n générateur".

dans ces deux exemples "l'objet libre à n générateurs" est la relation diagonal (l'égalité quoi) sur l'ensemble à n-éléments. de facon général l'objet libre à n générateur est "le" modèle F_n de la théorie avec n element marqué (a_1,...,a_n), tel que pour tout modèle X l'application :
Hom(F_n,X) -> X^n
f -> (f(x_1),...,f(x_n)) est une bijection.

bien sur un tel objet n'existe pas toujours... ca fait partie des nombreuse construction catégorique qu'on ne peut faire que sur les théorie dont les seuls axiomes sont des relations sur les fonctions et les relations du language...

que la modification du langage modifie les morphismes

En général oui, mais il y a justement des cas ou non cela ne change pas les morphismes : par exemple l'ajout d'un symbole pour le neutre à la théorie des groupes ne change pas les morphisme de modèle puisque sur un groupe toute application tel que f(a+b)=f(a)+f(b) envoi déjà automatiquement le neutre sur le neutre...

ajouter au langage de ZF un symbole de constante pour représenter le plus petit ordinal infini, et le point (je ne vois pas en quoi c'est un problème) que vous soulevez est résolu.

ca dépend... est-ce que tout morphisme de modèle de ZF envoi le plus petit ordianl infini sur le plus petit ordinal infini ? il me semble que non (mais je me trompe peut-etre) et donc je n'ai rien contre le fait d'ajouter ce symbole, mais il faut avoir conscience du fait qu'on change completement la nature de la théorie étudier : les morphismes entre les modèle ne vont plus du tous être les mêmes !


après c'est pas que c'est vraiment un problème... c'est juste que quand j'ai un type structure, il y a un certain nombre d'opération que j'aime bien pouvoir faire dessus, d'une part toute les opération catégorique sur les objets : produit/co-produit, noyaux/conoyaux de double fléche et toute les autres sortent de limites et d'autres parts les opération "entre différent type de structure" : "oublie de structure" et son adjoint "extension de structure/tensorisation/ou n'importe qu'elle nom qu'on peut lui donner dans les différente situation concrète", pouvoir localiser une théorie

Mais je répète ce que j'ai dit : la notion catégorique que j'ai en tête est finalement beaucoup plus compliqué à définir d'un point de vu logique que ce que je pensais. et je me suis rendu compte que je n'en été pas capable (enfin... peut-etre que si mais il faudrait que réfléchisse très sérieusement et un peu plus longtemps que ca...)

[invite4ef352d8]

ERRATA : enfait si... les morphismes envoi bien le plus petit ordinal infini sur le plus petit ordinal infini donc en effet il n'y a pas de problème ici... peut-etre même que du coup la catégorie des modèles de la théorie des ensemble est bien du type auquel je fais référence. faut voir si on peut définir les objet libre...

[Médiat]

dans ces deux exemples "l'objet libre à n générateurs" est la relation diagonal (l'égalité quoi) sur l'ensemble à n-éléments. de facon général l'objet libre à n générateur est "le" modèle F_n de la théorie avec n element marqué (a_1,...,a_n), tel que pour tout modèle X l'application :
Hom(F_n,X) -> X^n
f -> (f(x_1),...,f(x_n)) est une bijection.

L'égalité n'est pas une relation d'ordre strict.
C'est quoi X^n dans le cas d'une relation d'ordre ?
Est-ce que cet "objet libre à n générateurs" a quelque chose à voir avec les objets initiaux ? Ce qui me laisserait penser que cela se rapproche de ce qu'en théorie des modèles on appelle un modèle premier.

En général oui, mais il y a justement des cas ou non cela ne change pas les morphismes : par exemple l'ajout d'un symbole pour le neutre à la théorie des groupes ne change pas les morphisme de modèle puisque sur un groupe toute application tel que f(a+b)=f(a)+f(b) envoi déjà automatiquement le neutre sur le neutre...

Normal puisque cette constante est définissable, autrement dit, ajouter un symbole dans le langage pour une constante définissable change quelques aspects syntaxique à la théorie, mais ne change aucun théorème.

faut voir si on peut définir les objet libre...

D'après ma compréhension, il s'agirait de l'univers de Von Neumann.

[invite4ef352d8]

L'égalité n'est pas une relation d'ordre strict.>>> tu avais pas parlé de relation stricit il me semble... pour moi "relation d'ordre" signifie relation binaire reflexive, transitive et anti-symétrique bref, une relation d'ordre large...

mais si tu considère les relation d'ordre stricte, alors il faut prendre la relation vide sur l'ensemble à n éléments.


C'est quoi X^n dans le cas d'une relation d'ordre ? >>> oui désolé, petit abus de notation. on regarde que X comme ensemble à cet endroit la.


Est-ce que cet "objet libre à n générateurs" a quelque chose à voir avec les objets initiaux ? Ce qui me laisserait penser que cela se rapproche de ce qu'en théorie des modèles on appelle un modèle premier.
>>> absoluement ! l'objet initial, c'est l'objet libre sur 0 générateur. et l'objet libre à n générateur serait un objet initial pour théorie à laquel on ajoute n symboles de constante.

[Médiat]

L'égalité n'est pas une relation d'ordre strict.>>> tu avais pas parlé de relation stricit il me semble... pour moi "relation d'ordre" signifie relation binaire reflexive, transitive et anti-symétrique bref, une relation d'ordre large...

mais si tu considère les relation d'ordre stricte, alors il faut prendre la relation vide sur l'ensemble à n éléments.

Ce n'était pas un a priori, mais une deuxième question, après la réponse sur la diagonale.

C'est quoi X^n dans le cas d'une relation d'ordre ? >>> oui désolé, petit abus de notation. on regarde que X comme ensemble à cet endroit la.

Pour voir si j'ai bien compris (et si vous avez le temps), quels seraient les objets libres à 0 ou n générateurs, pour la théorie : "relation d'ordre strict totale, dense sans extrémum" sur le langage réduit à la relation d'ordre, et même question pour la même chose plus symboles de constantes et les axiomes ?

Est-ce que cet "objet libre à n générateurs" a quelque chose à voir avec les objets initiaux ? Ce qui me laisserait penser que cela se rapproche de ce qu'en théorie des modèles on appelle un modèle premier.
>>> absoluement ! l'objet initial, c'est l'objet libre sur 0 générateur. et l'objet libre à n générateur serait un objet initial pour théorie à laquel on ajoute n symboles de constante.

Donc, si j'ai bien compris (je confirmerai(s) si vous pouvez répondre à la question précédente) l'objet libre à 0 générateur serait le modèle premier pour un langage n'ayant aucun symbole de constante (pour des constantes non définissables), et à n générateurs, si le langage contient n symboles de constantes (non définissables les unes par rapport aux autres).

[invite4ef352d8]

Donc, si j'ai bien compris (je confirmerai(s) si vous pouvez répondre à la question précédente) l'objet libre à 0 générateur serait le modèle premier pour un langage n'ayant aucun symbole de constante (pour des constantes non définissables), et à n générateurs, si le langage contient n symboles de constantes (non définissables les unes par rapport aux autres). >>> oui je pense que c'est ca. si par modèle premier vous entendez objet initiale des modèles (c'est à dire un modèle T tel que pour tous modèle M il existe un unique morphisme de modèle T->M )




uels seraient les objets libres à 0 ou n générateurs, pour la théorie : "relation d'ordre strict totale, dense sans extrémum" >>> et bien... j'ai l'impression que ca n'existe pas justement (en tous cas, pour la théorie des ordres totaux ca n'existe pas, je pense que les hypothèses en plus aggrave encore plus la situation )

[Médiat]

Donc, si j'ai bien compris (je confirmerai(s) si vous pouvez répondre à la question précédente) l'objet libre à 0 générateur serait le modèle premier pour un langage n'ayant aucun symbole de constante (pour des constantes non définissables), et à n générateurs, si le langage contient n symboles de constantes (non définissables les unes par rapport aux autres). >>> oui je pense que c'est ca. si par modèle premier vous entendez objet initiale des modèles (c'est à dire un modèle T tel que pour tous modèle M il existe un unique morphisme de modèle T->M )

Dans le langage de la théorie des modèles :
un modèle T tel que pour tous modèle M il existe un plongement élémentaire du modèle T->M (l'unicité n'est pas nécessaire).

uels seraient les objets libres à 0 ou n générateurs, pour la théorie : "relation d'ordre strict totale, dense sans extrémum" >>> et bien... j'ai l'impression que ca n'existe pas justement (en tous cas, pour la théorie des ordres totaux ca n'existe pas, je pense que les hypothèses en plus aggrave encore plus la situation )

Ca m'ennuie parce que les modèles premiers existent dans les deux cas, les deux notions ne sont donc pas forcément "isomorphes"

[invite4ef352d8]

Ca m'ennuie parce que les modèles premiers existent dans les deux cas >>> ah oui j'avais pas bien fait attention le modèle premier existe en fait, mais par contre quand on essai d'ajouter des symboles de constantes ca ne marche plus il me semble bien.

par exemple si on regarde juste les ensemble totalement ordoné on a un objet initial (la relation vide sur l'ensemble vide) quand on ajoute encore un symbole de constante on a encore un objet initial (le singleton, munie de sa relation d'ordre) mais si on met plus de symboles de constante on a plus d'objet initial !

ca traduit que notre catégorie de modèle n'a pas de "somme direct" (ou co-produit) : normalement le modèle libre à deux générateur est juste la somme direct de deux fois le modèle libre à un générateur, on peut "forcer" toutes ces sommes directs (ainsi que quelques autres constructions qui vont avec) à exister en agrandissant un peu notre catégorie de modèle (on parle de complétion) mais bon... on change de théorie (en l'occurence on obtiendrai la théorie des ensemble ordoné filtrant je pense...)

"l'unicité n'est pas nécessaire" >>> ca m'étone beaucoup ça par contre ! ou alors il se passe une subitilité qui m'echape dans le terme "transformation elementaire"... parceque sans l'unicité de ce morphisme on a pas l'unicité du modèle premier par exemple, dans la théorie des groupes, pour n'importe qu'elle groupe T, et n'importe quel groupe M on a toujours un morphisme de T->M (au moins le morphisme nul ^^)... donc dans ce cas tout modèle serait un modèle premier ??

[Médiat]

Ca m'ennuie parce que les modèles premiers existent dans les deux cas >>> ah oui j'avais pas bien fait attention le modèle premier existe en fait, mais par contre quand on essai d'ajouter des symboles de constantes ca ne marche plus il me semble bien.

par exemple si on regarde juste les ensemble totalement ordoné on a un objet initial (la relation vide sur l'ensemble vide) quand on ajoute encore un symbole de constante on a encore un objet initial (le singleton, munie de sa relation d'ordre) mais si on met plus de symboles de constante on a plus d'objet initial !

Et pourtant Q muni de sa relation d'ordre habituelle est bien modèle premier de la théorie sus-mentionée avec deux symboles de constantes ... (ne cherchez pas trop, il n'y a pas forcément identité entre les deux notions, mais il est vrai que les analogies sont troublantes)

"l'unicité n'est pas nécessaire" >>> ca m'étone beaucoup ça par contre ! ou alors il se passe une subitilité qui m'echape dans le terme "transformation elementaire"... parceque sans l'unicité de ce morphisme on a pas l'unicité du modèle premier par exemple, dans la théorie des groupes, pour n'importe qu'elle groupe T, et n'importe quel groupe M on a toujours un morphisme de T->M (au moins le morphisme nul ^^)... donc dans ce cas tout modèle serait un modèle premier ??

Les plongements élémentaires doivent être des applications injectives (entre autres) ; pour reprendre l'exemple des groupes , cela ne marche qu'avec le groupe trivial. Pour les ordres stricts totaux sans extremums avec au moins deux éléments distincts, Q s'injecte élémentairement dans tous les modèles, forcément infinis (en théorie des modèles on n'a pas grand chose à dire sur les modèles finis (j'exagère, certaines études ont été faites dans ce domaine, mais il est marginal)), mais cette injection n'est pas unique ; il y a, d'ailleurs, des choses intéressantes à étudier (pour l'amateur) sur les automorphismes croissants de Q, avec des symboles de constantes en plus.

[Seirios]

Quand on fait des mathématiques, on le fait à l'aide d'un Langage, un langage est constitués de symboles de relation, de symboles de fonction et de symbole de constante.

Une structure est un ensemble, et une interprétation de chacun des éléments du langage.

Une question m'est venu sur la définition d'un isomorphisme entre espaces topologiques, mais j'aurais d'abord une question préliminaire :

Est-il toujours possible, dans une théorie, d'énoncer les axiomes sans faire référence à une structure (concernant la nécessité d'avoir un ensemble) ? Par exemple, comment peut-on énoncer les axiomes de la topologie sans faire référence à un ensemble ? (on parle justement de topologie sur un ensemble)

[Médiat]

Bonjour,

Pour votre remarque "peut-on énoncer les axiomes de la topologie sans faire référence à un ensemble ?", on pourrait la faire aussi pour la théorie des groupes puisqu'un groupe c'est "un ensemble avec une loi de composition interne" ; ce point n'est pas gênant.

Ce qui est plus gênant concernant le Topologie, c'est que cette structure met en jeu un ensemble de sous-ensembles de l'espace sous-jacent, ce qui est impossible à exprimer en logique du premier ordre ; il y a deux solutions à ce problème :
1) Utiliser une logique d'ordre supérieur
2) Axiomatiser la topologie dans le cadre de ZF, puisque un sous-ensemble, c'est juste un élément de l'ensemble des parties qui existe puisqu'un axiome l'impose. En fait, dans ce cadre, une topologie sur x est un élément de P(P(x)), avec quelques propriétés.

[Seirios]

Si on considère deux espaces topologiques (E,O) et (F,O'), et s'il existe un isomorphisme (du point de vue topologique) entre E et F, a priori l'image de l'union dans E par l'isomorphisme ne correspondra pas nécessairement à l'union dans F. Pourtant, ne considère-t-on pas que c'est le cas ?

[Seirios]

Ma question est mal posée ?

[God's Breath]

Elle n'est peut-être pas très claire...
Que signifie « l'union dans E » ?

[Seirios]

Que signifie « l'union dans E » ?

Je faisais référence au symbole dans E ; un isomorphisme entre E et F doit faire intervenir un symbole équivalent pour lequel la topologie dans F est isomorphe à celle de E, mais a priori je dirais que n'est pas nécessairement confondu avec le symbole d'union que l'on avait ab initio sur F.

Est-ce que c'est plus clair ?