Division Euclidienne

[RoBeRTo-BeNDeR]

Bonjour,

je souhaite calculer les termes de la division euclidienne de polynômes.

Soit et de degré n, notons le j ème polynôme dérivé de P, non nul c'est à dire , alors tel que

J'aimerai bien trouver et dans un cas général, car j'arrive à trouver par exemple ou même pour 2 mais traiter le cas général me dépasse un peu je doit dire car les coefficients de ne sont pas des plus aisés à calculer.

Je procède comme ceci, donc tous les termes de degré supérieur ou égaux à n-j sont nuls dans la différence , donc par identifications successives j'identifie les coefficients de , par exemple si je ne me trompe pas .
Peut être n'est-ce pas là une bonne méthode

Si çà intéresse quelqu'un, Merci.

RoBeRTo
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[SchliesseB]

Je trouve:
pour où

après, on peut surement trouver les Qk par récurrence en disant que le Qk c'est "le Q1 de "

pour les restes, je sais pas encore

t'as trouvé quoi pour R1? je trouve quelque chose de pas très joli. (et donc ça complique vite après...)

[RoBeRTo-BeNDeR]

Salut SchliesseB, j'ai comme toi pour , le probème étant que que est encore plus dur et encore pire etc ...

Pour si je n'ai pas fais d'erreur en recopiant.

Si l'on suppose alors par identification je trouve :

avec un haut risque d'erreur, mais si c'est juste, je ne vois pas comment trouver le terme général de cette suite des

Par ailleurs pour un pour sera le même qu'un pour , en gros il me semble que et ensuite en renumérotant on obtient sous sa forme usuelle.

Si quelqu'un voit comment l'attaquer ou alors vérifier mes résultats ce serait vraiment sympa

RoBeRTo

[SchliesseB]

j'ai ça pour R1

sinon, ma méthode par récurrence (qui n'aboutit pas pour les restes...et donc qui bloque rapidement mais y'a ptet moyen)


on a

f=Q2(f)f''+R2(f)
f=Q1(f)f'+R1(f)


or
f'=Q1(f')f''+R1(f')

(ou les Q1 et les R1 suivent tes formules mais avec les coefficients de f' c'est a dire
donc
f=Q1(f)[Q1(f')f''+R1(f')]+R1(f)=Q1(f)Q1(f')f''+Q1(f)R1( f')+R1(f)
or Q1(f) et Q1(f') sont de degrés 1, R1(f') de degré n-3 et
R1(f) de degré n-2 et f'' de degré n-2

reste donc a diviser Q1(f)R1(f')+R1(f) par f''
on trouvera une constante comme quotient (que je note K, on la trouve en regardant les coeff dominants) et un reste (horrible :/) que je note R

alors
Q2(f)=Q1(f)Q1(f')+K
R2(f)=R

et ainsi de suite....

[A voir en vidéo sur Futura]

[RoBeRTo-BeNDeR]

C'est vrai que c'est pas bête comme méthode mais il reste quand même un reste, je la regarderai demain , mais je pense que ce problème n'est pas facilement soluble car les éxpressions sont bourées de factorielles, de coefficients et c'est très volumineux en fin de compte!

Si tu as une nouvelle idée d'approche, propose la moi ;p

RoBeRTo