Théorie spectrale

[Antilope]

Bonjour à tous,

Je commence tout juste à aborder en cours de mathématiques la théorie spectrale des opérateurs.
Je souhaiterais savoir s'il est possible de résoudre une équation du type Of(x)=0 où O est un opérateur (par exemple l'opérateur laplacien...)) en connaissant les valeurs propres et les vecteurs propres de l'opérateur O ?
La solution de cette équation peut-elle s'écrire en fonction de ces valeurs/vecteurs propres ?
De même peut-on résoudre une équation du type Of(x)=2 f(x) si l'on connait le spectre de O ?

Une première idée serait de montrer que les vecteurs propres de O forment une base dans l'espace des solutions de mon équation. Je suis à la recherche de théorèmes permettant de montrer cela.

Avez-vous des références à me conseiller à ce sujet ? Où puis-je trouver les théorèmes qui me permettraient d'avancer ? Les ouvrages sur la théorie des EDP et des distributions n'abordent pas ce problème .

Je vous remercie pour votre aide

A
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[indian58]

Bonjour à tous,

Je commence tout juste à aborder en cours de mathématiques la théorie spectrale des opérateurs.
Je souhaiterais savoir s'il est possible de résoudre une équation du type Of(x)=0 où O est un opérateur (par exemple l'opérateur laplacien...)) en connaissant les valeurs propres et les vecteurs propres de l'opérateur O ?
La solution de cette équation peut-elle s'écrire en fonction de ces valeurs/vecteurs propres ?
De même peut-on résoudre une équation du type Of(x)=2 f(x) si l'on connait le spectre de O ?

Une première idée serait de montrer que les vecteurs propres de O forment une base dans l'espace des solutions de mon équation. Je suis à la recherche de théorèmes permettant de montrer cela.

Avez-vous des références à me conseiller à ce sujet ? Où puis-je trouver les théorèmes qui me permettraient d'avancer ? Les ouvrages sur la théorie des EDP et des distributions n'abordent pas ce problème .

Je vous remercie pour votre aide

A

Of(x)=2f(x). Donc f(x) est un vecteur propre de O pour la valeur propre 2. Donc si 2 est bien une valeur propre de O, alors f(x)=y avec y un vecteur propre de O pour la valeur propre 2.

[Antilope]

Merci pour cette remarque !

Il y a quand même deux choses qui m'intriguent...

1) Comment montrer rigoureusement que l'ensemble des vecteurs propres de O forment une base de l'espace des solutions de l'équation O f(x) = 0 ?

2) Prenons le cas où O est l'opérateur différentiel définit par et l'équation du second ordre
Of(x) = 2 pour x appartenant à [0,1] avec f(0)=f(1)=0 .

Le calcul des vecteurs propres de O montre qu'il y en a une infinité. L'espace vectoriel dans lequel agit cet opérateur est donc de dimension infini puisqu'alors une base de cet espace vectoriel est constituée de tous ces vecteurs propres (c'est l'espace de toutes les fonctions de R dans R). Comme chacune des solutions de mon équation différentielle appartient à cet espace de fonctions, elles devraient s'écrire comme combinaison linéaire (infinie) des vecteurs propres de 0. C'est effectivement ce qu'on trouve en physique par exemple quand on veut résoudre une telle équation avec ces conditions aux limites : la solution s'écrit alors comme une somme infinie sur les exponentiels imaginaires du type . D'un autre côté comme il s'agit d'une équation différentielle du second ordre la dimension de l'espace des solutions doit être de dimension 2 et donc chacune de ces solutions devrait plutôt s'écrire comme une combinaison linéaire de deux vecteurs de base...

Pourquoi donc mon premier raisonnement m'en fait trouver une infinité et mon second raisonnement m'en fait trouver que deux ?
Avez-vous une idée de ce qui cloche ?

A

[indian58]

J'ai comme l'impression que tu confonds deux-trois trucs! L'opérateur O agit (i.e. O : f -> Of) dans un espace de fonctions et donc généralement, de dimension infinie. Le "truc" de dimension 2 dont tu parles est l'ensemble des solutions de l'équation Of=0.

Et de plus, tu parles de vecteurs propres et dimensions d'espace, cela sous-entend que ton opérateur est linéaire.

[A voir en vidéo sur Futura]