Dimension d'un espace vectoriel

invite294590f8 · 28/09/2010, 19h44

Bonjour,
Je bosse sur un DM de math de spé mais avec les 2 mois de vacances je suis un peu rouillée, quelqu'un pourrait t'il me rappeler quelle est la dimension de l'espace vectoriel des fonctions de classe Cinfini? Et comment le retrouver?
Merci d'avance

**Seirios** · 28/09/2010, 19h50

Bonjour,

Je dirais que $\text{[math]}$ est de dimension infinie ; d'ailleurs, $\text{[math]}$ me semble être une famille libre infinie.

**sebsheep** · 28/09/2010, 23h06

Envoyé par Phys2

Bonjour,

Je dirais que $\text{[math]}$ est de dimension infinie ; d'ailleurs, $\text{[math]}$ me semble être une famille libre infinie.

Je confirme, C infini n'est pas de dimension finie.

**Médiat** · 29/09/2010, 12h38

Bonjour,
La moitiée du boulot (et il y a sans doute plus simple) :
Une fonction continue de $\text{[math]}$ ( $\text{[math]}$ ) permet de définir au plus une fonction $\text{[math]}$ .
On a donc $\text{[math]}$ .
Or $\text{[math]}$ .
D'autre part, pour tout sous-ensemble $\text{[math]}$ on peut "facilement" construire une fonction $\text{[math]}$ , qui s'annule pour les éléments de $\text{[math]}$ et qui vaut 1 sur $\text{[math]}$ . Ceci permet de construire $\text{[math]}$ fonctions appartenant à $\text{[math]}$ , on a donc :
$\text{[math]}$ .
Il est clair que la sous-famille générée comme ci-dessus, par les singletons de $\text{[math]}$ est une famille libre (je crois, que les sous ensembles finis définissent aussi une famille libre, mais je ne l'ai pas démontré, et cela n'apporte pas grand-chose), la dimension est donc au moins $\text{[math]}$ .
On a donc $\text{[math]}$
Finalement $\text{[math]}$ .
D'autre part un espace vectoriel de dimension $\text{[math]}$ sur un corps de cardinal $\text{[math]}$ est de cardinal $\text{[math]}$ , ce qui ici veut dire que si on pose que dimension de $\text{[math]}$ comme espace vectoriel sur $\text{[math]}$ est $\text{[math]}$ , on a :
$\text{[math]}$ d'où $\text{[math]}$ .
Je continue de réfléchir à la suite ...

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**Seirios** · 29/09/2010, 12h59

Je ne suis pas vraiment au point avec les opérations sur les cardinaux : pourquoi a-t-on $\text{[math]}$ ?

**Médiat** · 29/09/2010, 13h27

Envoyé par Phys2

Je ne suis pas vraiment au point avec les opérations sur les cardinaux : pourquoi a-t-on $\text{[math]}$ ?

Bonjour,

c'est un cas particulier d'un théorème plus général : $\text{[math]}$ (qui se démontre par une récurrence sur n en utilisant quelques résultats non triviaux comme le théorème de Hausdorff).

Note : avec l'hypothèse du continu, la formule, $\text{[math]}$ se simplifie en $\text{[math]}$ .

**Seirios** · 03/10/2010, 16h12

Envoyé par Médiat

d'où $\text{[math]}$ .
Je continue de réfléchir à la suite ...

Ne peut-on pas conclure en remarquant que $\text{[math]}$ est libre ?

**Médiat** · 03/10/2010, 16h42

Ben oui, tout simplement, donc la dimension de cet espace vectoriel est bien $\text{[math]}$ .

**Seirios** · 07/12/2010, 18h44

J'ai lu une propriété qui m'a assez étonné et qui m'a fait pensé à ce post : un espace de Banach n'admet pas de base (algébrique) dénombrable (il suffit de raisonner par l'absurdre, d'écrire l'espace comme une union dénombrable d'espaces vectoriels engendrés par un nombre fini de vecteurs, puis d'en déduire que l'espace est d'intérieur vide puisqu'il est de Baire, ce qui est impossible).

Finalement, pour montrer que nécessairement, l'espace $\text{[math]}$ ne peut pas être de dimension dénombrable, il suffit de le munir d'une norme qui le rende complet, ce qui est le cas de la norme $\text{[math]}$ il me semble.

**God's Breath** · 07/12/2010, 18h57

Bonjour Phys2,

Comment définis-tu la norme $\text{[math]}$ sur l'espace $\text{[math]}$ ?

Par exemple pour la fonction $\text{[math]}$ .

**Seirios** · 07/12/2010, 19h11

J'ai effectivement parlé trop vite, cela ne fonctionnerait que pour le sous-espace des fonctions bornées ; mais au final, si je ne me trompe pas, on en déduit tout de même que $\text{[math]}$ n'admet pas de base dénombrable puisqu'il contient un espace qui n'admet pas de base dénombrable (conséquence du théorème de la base incomplète).

D'ailleurs, comme Médait a montré que $\text{[math]}$ est de dimension $\text{[math]}$ , on en déduit que le sous-espace des fonctions bornées est de même dimension.

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