tesselation -demande de démonstration

[invite251213]

Bonjour à tous .

Mon problème concerne le découpage d'un triangle en autres triangles .

En fait , au départ , je me suis intéressé à la tesselation , une technique utilisé dans les moteurs graphiques de jeux vidéos .

Cette technique ,une foi appliquée sur un triangle , découpe celui-ci en triangles plus petits .

Pour ce faire , il suffit de découper de placer sur chaque coté d'un triangle n-1 points de façon à découper ce coté en n segments , et relier ces points de façon à mailler le triangle originel avec des triangles .
Voici une illustration de ce procédé .



Or , j'ai remarqué que le nombre de triangles crées à l'intérieur du triangle originel est toujours égal au carré de n .

Voici ma question (après une longue introduction) : Existe-il une démonstration ou un contre-exemple de cette propriété ?

(PS : si je poste dans le forum mathématique du supérieur , c'est parce que je souhaiterais avoir une démonstration , ce qui est rare au collège/lycée . J'espère ne pas me tromper et m'excuse d'avance si c'est le cas )
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[Médiat]

Soit P(n) le nombre de triangles de coté 1/n (pour moi votre premier triangle est obtenu pour n = 1)

Vous supposer que p(n) = n², ce qui est confirmé par les premières valeurs de n, vous avez tout ce qu'il faut pour une récurrence :

Pour passer de n à n+1, il faut ajouter au triangle de coté n, une bande qui contient (n + 1 triangles tête en haut et n avec la tête en bas, soit n+1 + n = 2n+1 triangles.

Si par hypothèse de récurrence p(n) = n², alors p(n+1) = n² + 2n + 1 = (n + 1)².
cqfd.