Développement limité fonction composée

[stephane543]

Bonsoir,

Je souhaiterais juste une confirmation (ou une correction) sur le développement limité d'une fonction composé:
Si on veut le DL d'ordre n d'une fonction composée on fait d'abord le DL des fonctions usuelles à l'ordre n de chaqu'une de ces fonction usuelles et pas à un ordre inferieur?

Par exemple si on veut le DL de e^sinx à l'ordre 4 on doit faire le DL à l'ordre 4 de sinx (et le DL d'ordre 4 de e^x): je n'ai pas le "droit" de faire un DL d'ordre 2 de sinx puis un DL d'ordre 4 de e^x non?

merci d'avance
(la réponse n'est pas urgente je me doute que vous avez d'autres occupations^^)
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[KerLannais]

Bonjour,

Cela dépend des cas, mais en général il est effectivement nécessaire de développer les sous-fonctions au moins jusqu'au même ordre voir à des ordres plus élévés. Une pratique suffisamment intensive de développement limité permet d'aquérir une intuition, de prévoir à l'avance les endroits dans le calcul où l'on va perdre ou gagner des ordres et de prévoir l'ordre optimum pour la décomposition des sous fonctions et de réduire au maximum la quantité de calcul. Après ce n'est pas une question de droit, si on applique consciencieusement les règles et si on écrit les "o" ou les "O" alors quelque soit l'ordre auquel on a développer les sous-fonctions on arrivera à un résultat correct, le seul problème est que le développement obtenu peut être d'ordre plus petit que ce que l'on voulait et auquel cas il faut développer les sous-fonctions plus loin.

Permier exemple:
On veux un DL à l'ordre 2 de lorsque tends vers 0
On sait que

alors






On a donc le résultat alors que l'on a fait un DL à l'ordre 1 de la sous-fonction. Ce cas est donc un cas favorable. Autre exemple:
On veut un DL à l'ordre 1 de lorsque tends vers .
Mettons que l'on essaie en développant et seulement à l'ordre 1











c'est donc loupé puisqu'il fallait un il faut daonc développer les sous fonctions à un ordre supérieur, dans ce cas seulement le sinus





et là c'est gagné. On était donc dans un cas défavorable. Ici on perd un ordre, mais il est facile d'imaginer des cas où on en perd plus. De bonnes habitudes consistent à
1- faire un développement avec des grand "O" c'est en général plus précis pour un même nombre de termes dans le calcul
2- pour un nombre de terme donné dans un développement mettre le petot "o" ou le gand "O" optimal, cela s'applique en général lorsque l'on a des sinus ou des cosinus. Par exemple
plutôt que

pour le même nombre de terme on est plus précis puisque l'on sait que le reste est d'ordre 3 et pas seulement négligeable devant l'ordre 1.

Une méthode pour trouver l'ordre auquel développer les sous-fonction est de développer d'abord les fonctions extérieures et d'avoir une idée de l'ordre principal (un équivalent) des fonctions intérieures. Par exemple:
On veut un DL à l'ordre 4 de lorsque tend vers 0. On sait que lorsque tends vers 0, tends vers 0, et on sait que est équivalent à . Ainsi, il faut développer lorsque tend vers 0, et que si on fait le développement jusqu'à l'ordre alors le reste est un . Lorsque l'on remplace par on a donc un et d'après l'équivalent il s'agit d'un . Il faut donc on a pas le choix. On développe donc l'exponentielle:

Quand on remplace par on a donc

Il se trouve que dans ce cas le apparaît tel quel comme terme de la somme, si on développe ce dernier à un ordre strictement plus petit que il apparaîtra un avec qui d'après les règles sur les petit "o" ne peut disparaître et donc c'est foutu. Donc là on a montrer avec certitude qu'il faut développer le à l'ordre au moins. C'est également suffisant pour ce terme. Par contre pour développer le terme à l'ordre il n'est pas nécessaire de développer le sinus à l'ordre . On sait que

(je n'écris pas les termes intermédiaires volontairement mais ils sont bien entendu négligeables devant )



Au niveau des premiers points de suspension il n'y a pas de "o", on constate donc que l'on gagne un ordre et que le développement du sinus à l'ordre suffit. Je te laisse en exo le fait que lorsque l'on élève le sinus au cube on gagne deux ordres, et ... la règle générale c'est que si on élève un terme d'ordre (autrement dit équivalent à ) à une puissance alors si le terme intérieur est développé à l'ordre , la puissance est alors développée à l'ordre et donc on gagne ordres. Ainsi on a

En plus lorsque l'on développe les puissances il est judicieux d'écrire les termes décroissant et de ne pas chercher à calculer les termes dont on sait qu'ils sont trop petits


On a donc été le plus économique possible en calcul. Quand on est rodé et que l'on ne détaille pas outre mesure la rédaction les trois dernières lignes de calcul suffisent et dans la deuxième ligne on peut mettre un unique à la fin. Le calcul se réduit donc à



ce qui est pas mal non