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x = cos x

  1. #1
    fapir

    Question x = cos x

    Vous ne savez pas par hasard comment démonter que x = cos x n'a qu'une solution .
    SVP .

    -----


  2. Publicité
  3. #2
    ericcc

    Re : x = cos x

    Si tu étudiais la fonction f(x) = cos(x)-x sur [o,2pi] ?

  4. #3
    Evil.Saien

    Re : x = cos x

    Salut,

    comme -1 <= cos x <= 1, je proposerais de faire l'etude sur l'interval [-1 , 1]
    Mon psychiatre, pour quinze mille francs, il m'a débarrassé de ce que j'avais : quinze mille francs

  5. #4
    fapir

    Wink Re : x = cos x

    J'ai étudié la fonction sur 0 2pi :
    La dérivée est négative donc la fonction est strictement décroissante (f'(x) =-sinx -1) .
    f(0) > O (=1) et f(2 pi) < O .
    Donc ceci prouve bien qu'il n'y a qu'une solution .
    Merci à vous .
    PS :il faut étudier la fonction sur 0 2pi car il faut considérer le cercle trigonométrique entier ,je pense .

  6. #5
    Evil.Saien

    Re : x = cos x

    Citation Envoyé par fapir
    PS :il faut étudier la fonction sur 0 2pi car il faut considérer le cercle trigonométrique entier ,je pense .
    Question: Pourquoi ?

    Et qui vous dit que y'a pas de solution pour x < 0 ?
    Mon psychiatre, pour quinze mille francs, il m'a débarrassé de ce que j'avais : quinze mille francs

  7. #6
    doryphore

    Smile Re : x = cos x

    Je suis d'accord avec Evil.Saien, vous devriez reconsidérer votre intervalle d'étude...
    "Plus les choses changent et plus elles restent les mêmes..." Snake Plisskein

  8. #7
    Penelope20k

    Re : x = cos x

    je prendrait plutot [-pi, pi] comme intervalle

    car il sera simple par la suite de demontrer que sur ]-inf, -pi[ et sur ]pi, inf[ que x=cosx n'a pas de solution

  9. #8
    shokin

    Re : x = cos x

    Sur l'intervalle [0;pi], f(x)=cos(x) est monotone strictement décroissante.

    Sur l'iintervalle [-pi;0] f(x)=cos(x) est monotone strictement croissante.

    Et on peux bien comparer les fonctions f(x)=cos(x) et g(x)=x...

    f(-pi)=0>-pi=g(-pi)
    f(0)=1>0=g(0)

    Donc aucune intersection entre f(x) et g(x) sur [-pi;0]

    f(0)=1>0=g(0)
    f(pi)=0<pi=g(pi)

    Donc une et une seule intersection entre f(x) et g(x) sur [0;pi]

    Shokin
    Pardon, humilité, humour, hasard, tolérance, partage, curiosité et diversité => liberté et sérénité.

  10. #9
    Evil.Saien

    Re : x = cos x

    Citation Envoyé par Penelope20k
    je prendrait plutot [-pi, pi] comme intervalle

    car il sera simple par la suite de demontrer que sur ]-inf, -pi[ et sur ]pi, inf[ que x=cosx n'a pas de solution
    Pourquoi diable voulez-vous absolument aller jusqu'a pi ?????

    Qu'esperez-vous trouvez dans les intervalles [-pi, -1[ et ]1, pi] ?????
    Mon psychiatre, pour quinze mille francs, il m'a débarrassé de ce que j'avais : quinze mille francs

  11. #10
    ericcc

    Re : x = cos x

    J'imagine que c'est parce que c'est plus facile de calculer cos(pi) que cos(1)

  12. #11
    Evil.Saien

    Re : x = cos x

    Citation Envoyé par ericcc
    J'imagine que c'est parce que c'est plus facile de calculer cos(pi) que cos(1)
    Euh, non pas du tout, cos 1 = cos 1 !

    Et surtout poses-toi cette question: dans cette exercice-ci, est-ce utilse de calculer f(pi) ? Est-ce utile de calculer f(x) pour |x| > 1 ? Si oui, j'aimerais bien que tu me dises pourquoi ?
    Mon psychiatre, pour quinze mille francs, il m'a débarrassé de ce que j'avais : quinze mille francs

  13. #12
    easythomas

    Re : x = cos x

    Tu as raison, si x>1 ou x<-1, l'égalité n'aura jamais lieu...

  14. #13
    volsonges

    Re : x = cos x

    Une manière beaucoup plus simple est la méthode graphique : dessiner f(x) = cos(x) et g(x) = x permettra de trouver les points d'intersections et surtout le nombre de ces points (ce qui résoud la question si elle ne demande que le nombre de solution de l'équation x = cos(x) ).

  15. #14
    fapir

    Re : x = cos x

    par la méthode graphique on peut aussi repérer l'intersection entre f(x) = cosx - x et l'axe des abssisse .

    Ensuite la dérivée est négative ou égale à O pour pour tout x réel .
    en fait on peut raisonner par encadrement successif .
    moi dans mon raisonnement j'ai fait un simple encadrement 0 2pi car on ne me demande pas la solution .

  16. #15
    Ravaner

    Re : x = cos x

    Quelques suggestions :
    | cos x | <= 1 donc l'intervalle optimum est [ -1, +1 ]
    la fonction est paire, comme y = x est impaire, il suffit d'étudier dans [ 0, 1 ] et il n'y a donc qu'une seule racine. Sans aller trop loin, on sait qu'un développement, très très très limité de cos x est 1 - x^2 /2 donc une solution très approximée est la solution de l'équation :

    1 - x^2/2 -x = 0 soit x²+2x-2 = 0 => x ~ 0.73205

    A toi d'affiner après.

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