Bonjour à tous,
mon problème est le suivant :
calculer la somme :
B_n = la somme 1<=i<=j<=n de 2^i x 3^j
d'abord je fixe i,
et j'obtiens : somme de 1<=i<=n de somme de 1<=j<=i de 2^i x 3^j
d'abord, est-ce juste ?
puis-je ensuite sortir le 2^i ?
et comment calcule-t-on une somme pareille (du type : somme de 1<=k<=n 2^k) ?
merci bien !
Romain
Re : MPSI - calcul d'une somme indexée par deux variables
C'est la somme des termes d'une suite géométrique: cf leçon...
Sinon, i<=j ou j<=i ???
ET après, oui tu peux factoriser par le facteur donc tu as décidé de fixer l'exposant de lu sigma de droite...
"Plus les choses changent et plus elles restent les mêmes..." Snake Plisskein
i<=j, pourquoi je me suis planté quelque part ?Envoyé par doryphore
evidemment, où avais-je la tête ?ET après, oui tu peux factoriser par le facteur donc tu as décidé de fixer l'exposant de lu sigma de droite...
merci
je crois que j'ai compris (décidemment !)
si je fixe i,
je ne peux pas écrire : somme de i=1 à n (de la somme de j=1 à i de 2^i x 3^j )
il faut que je fixe j,
j'ai alors :
somme de j=1 à n de (la somme de i=1 à j de 2^i x 3^j)
ce qui me donne :
somme de j=1 à n de 3^j x somme de i=1 à j de 2^i
et j'applique bêtement la formule : (1 - q^n+1) / 1-q :
[1 - 3^(n+1) / (1-3)] x [(1-2^j+1) / (1-2)]
un petit problème toutefois : j'ai du j qui apparait dans mon résultat...
Re : MPSI - calcul d'une somme indexée par deux variables
Il faut commencer par appliquer la formule qui donne la somme sur e sigma de droite, puis voir ce que ça fait quand tu remultiplie par 3^j avant de penser à calculer le sigma de gauche...
"Plus les choses changent et plus elles restent les mêmes..." Snake Plisskein
Salut !
Sauf erreur ta somme vaut plutôt
Ensuite tu appliques 2 fois la somme des termes d'une suite géométrique.
Au final je trouve(aucune garantie hein
)
EDIT : ça marche pour n = 1 et pour n = 2
Dernière modification par g_h ; 02/10/2005 à 10h43.
Si tu commence par la somme de sur j tu as du somme de 1 à j plutôt que du somme de i à n, ce n'est pas plus simple ?
"Plus les choses changent et plus elles restent les mêmes..." Snake Plisskein
Bon si j'ai bien compris :
1. je fixe j
2. je partage ma somme :
somme de j=1 à n de somme de i = 1 à j de 2^i x 3^j
3. je sors le 3^j
somme de j=1 à n de 3^j x somme de i=1 à j de 2^i
4. j'applique la formule à droite :
somme de j=1 à n de 3^j x [(1-2^j+1)/(1-2)]
5. je multiplie par 3^j :
somme de j=1 à n de ( 3^j x (1-2^j+1)/(-1) )
somme de j=1 à n de - 3^j + 3^j x 2^j+1
et là ?
merci beaucoup
Ah, oui en effet !
je capte pas où c'est que tu l'appliques une deuxième fois...Salut !
Sauf erreur ta somme vaut plutôt
Ensuite tu appliques 2 fois la somme des termes d'une suite géométrique.
Au final je trouve
EDIT : ça marche pour n = 1 et pour n = 2
Heu Romain, refais ton développement au 5, please...
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Non ?
Ensuite tu peux séparer ta somme en 2, et ne pas oublier que 2^k * 3^k = 6^k
Dernière modification par g_h ; 02/10/2005 à 10h54. Motif: erreurs
5. je multiplie par 3^j :
somme de j=1 à n de ( 3^j x (1-2^j+1)/(-1) )
somme de j=1 à n de - ( 3^j - 3^j x 2^j+1 )
-------------------- 3^j x 2^j+1 - 3^j
y a pas d'erreur, si ?
suis je sur la bonne voie jusque là ?
merci
Petit rappel : somme des termes d'une suite géométrique
Ou en français :
(il me semble qu'il y a une erreur sur ta somme des 2^i !)
A excuse moi, comme je ne l'ai pas calculé moi-même, je m'appuyait sur tes résultats et j'avais vu (1 -2^j +1)
Ok, eh bien 2^(j+1) = 2^j *2 et g_h pour conclure...
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Bon, j'ai tout repris :
je fixe i
j'applique tout ce que je peux appliquer :
et j'ai somme pour i=1 à n de (6^i - 6^i x 3^n-i+1 )/-2
je pense que jusque là c'est bon.
mais je ne peux pas appliquer la formule de la somme des termes d'une suite géom là.
alors ?
[EDIT] le message de Doryphore n'était pas affiché !
en fixant j, j'arrive à somme pour j=1 à n de 3^j ( 2^j+1 -1)
j'imagine que là, je divise la somme en deux et je re applique la formule. mais comment ?
mais en ayant fixé i avant, c'est possible de conclure ?
Dernière modification par Romain-des-Bois ; 02/10/2005 à 11h18.
j'ai tout refait au clair :
en fixant i, j'ai :
somme pour i = 1 à n de 6^i x (1-3^(n-i+1) / (-2)
en fixant j, j'ai :
somme pour j = 1 à n de -3^j x 2 x ( 1-2^(j+1) ) (1)
j'aimerais savoir si jusque là, je ne me suis pas trompé.
et ensuite :
que faire pour conclure : est-ce que j'applique plusieurs fois ma formule dans (1) ?
je pense que je vais arriver à conclure,
pardon d'insister
merci à vous deux
Ce qui fait :
(tu as le droit de sortir les termes constants de ta somme)
Et là tu réappliques 2 fois la formule de la somme d'une suite géométrique pour tomber sur la réponse
Je suis vraiment mauvais !
Le problème était archi facile, et ben non : ça voulait pas !
Je suis allé manger, et puis ... c'est sorti tout seul.
Je faisais vraiment n'importe quoi ! pourtant le problème était super simple
je me demande dès fois ....
merci beaucoup en tous cas !
PS : g_h : je trouve comme toi.
