transformation conforme

[G13]

Bonjour,

Soit f une fonction de dans
infiniment differentiable telle que ,en tout point, la differentielle de f est une similitude (c'est a dire la composée d'une homothetie et d'une rotation).
Comment montrer que, si n>2, f est la composée de translations, de rotations et d'inversions ?
(une inversion est la fonction x/norme(x)^2)
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[invite8f53295a]

Bonjour, dans le livre "Calcul différentiel" de Stéphane Gonnord et Nicolas Tosel, un exercice démontre que f doit être une similitude, ils indiquent aussi que le résultat que tu mentionnes doit se trouver dans les livres "Géométrie" de Marcel Berger.

[G13]

Merci de ta reponse, BS !
J'ai trouve que, si où O est une rotation, comme le tenseur de courbure est nul, et l'image d'un plan est une sphere.

[martini_bird]

Salut,

comme j'avais cherché un peu et que je ne comprends pas bien le dernier message de G13, une bonne âme pourrait-elle me guider pour avoir une idée de la démonstration, si elle est accessible?

Merci.

[A voir en vidéo sur Futura]

[G13]

Bonjour,
J'ai montre en dimension 3 que l'image d'un plan est une sphere.
Soit f infiniment differentiable de dans , soit avec O(x) unitaire. La transformée de la metrique canonique sur par f est . Le tenseur de courbure (cf Landau Lifchitz Theorie des champs) est invariant par transformation et il est nul pour un espace plat donc il est nul pour la metrique.
Le tenseur de courbure

avec

Comme , en choisissant bien les i,k,l,m, on trouve
Bon, le Tex etant fatigant, je continuerai demain.
A+

[G13]

On a donc si i different de j.
designe la derivee partielle par rapport a .
On va calculer la forme quadratique de la surface definie par l'image d'un plan par f. On peut se ramener au plan

La forme quadratique,dans un bon repere est,

avec

Je continuerai plus tard...

[G13]

J'ai fait des erreurs dans les derniers messages.
En prenant de bon i,k,l,m dans , on trouve
si i<>j
et de meme on peut exprimer en fonction des derivees premieres de .
En composant avec au plus n inversions (où n est la dimension de l'espace), on peut ramener les derivees premieres de a toutes s'annuler en un point donc comme les derivees secondes dependent des derivees premieres par des polynomes homogenes du deuxieme degre a lambda^2 pres, toutes les derivees par recurrence seront nulles donc est constant.

[martini_bird]

Salut,

ok, je vois mieux le principe général (je n'aurais pas pu trouvé cette démonstration, mes compétences en géo diff étant trop limitées).

Merci.