montrer un espace vectoriel

[invite57c166fd]

bonjour,

J'ai quelques problèmes de résoudre l'exo ci-dessous, tout d'abord je ne vois pas à quoi sert l'indication ici?

merci
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[Jeanpaul]

L'indication te montre déjà que l'espace vectoriel n'est sûrement pas de dimension 4. A toi de trouver la dimension.

[invite57c166fd]

L'indication te montre déjà que l'espace vectoriel n'est sûrement pas de dimension 4. A toi de trouver la dimension.

merci mais comment trouver la dimension par calculer la somme de ces deux racines? je pas comprends

[Jeanpaul]

La nature d'espace vectoriel est assez simple à prouver. Prends les 2 premières fonctions, elles sont évidemment linéairement indépendantes. Mais la 3ème est la somme des 2 premières et la 4ème leur différence, donc elles ne peuvent être partie d'une base.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite57c166fd]

Mais la 3ème est la somme des 2 premières.

non c'est pas la somme, le dénominateur de la somme est 2 mais la troisième c'est c, c n'egal pas forcément 2

La nature d'espace vectoriel est assez simple à prouver

pourquoi? pour montrer un ev on doit montrer groupe commutatif, 1 * x = x etc, mais ici je comprends pas comment débuter la démonstration ...

[Jeanpaul]

Revois ton calcul et tu verras que f1 + f2 = 2 f3 et f1-f2= -2 f4
Ensuite, il faut montrer que si F appartient à l'espace, alors p F aussi, ce qui n'est pas compliqué.

[invite57c166fd]

Revois ton calcul et tu verras que f1 + f2 = 2 f3 et f1-f2= -2 f4
Ensuite, il faut montrer que si F appartient à l'espace, alors p F aussi, ce qui n'est pas compliqué.

merci mais , qu'est-ce que c'est, f1,f2,f3,f4?

[Jeanpaul]

Ben, tes 4 fonctions de l'énoncé !

[invite57c166fd]

Ben, tes 4 fonctions de l'énoncé !

ça alors ... f1 + f2 n'egal pas 2f3 car l'existence de a,b,c je crois ?

[Jeanpaul]

On s'en moque de a,b,c. On regarde les 4 fonctions, c'est tout et on ajoute f1 et f2 en réduisant au même dénominateur.

[invite57c166fd]

On s'en moque de a,b,c. On regarde les 4 fonctions

pourquoi on s'en moque de a,b,c ?

[Jeanpaul]

L'idée est de s'intéresser aux fonctions de base et de montrer qu'elles ne sont pas linéairement indépendantes. C'est comme si, dans le plan, tu disais que tu as 4 vecteurs de base : [1;0], [0;1], [1;1] et [1;-1]. Tu peux définir un vecteur comme la somme de a fois le 1er, plus b fois le second, etc... Ce vecteur appartiendra au plan, c'est sûr, mais ça ne veut pas dire que ces 4 vecteurs forment une base car ils ne sont pas linéairement indépendants

[invite57c166fd]

non... je sais pas comment montrer E est un espace vectoriel tout d'abord et j'ai pas compris ce que tu veux dire

en fait c'est un espace vectoriel ou non ?

[Jeanpaul]

Oui, c'est un espace vectoriel car c'est une combinaison linéaire d'éléments, exactement comme l'exemple du plan que je cite.
Tu devrais revoir ton cours sur les EV.

[invite57c166fd]

Oui, c'est un espace vectoriel car c'est une combinaison linéaire d'éléments, exactement comme l'exemple du plan que je cite.
Tu devrais revoir ton cours sur les EV.

ouais mais .. un problème très fondamental me bloque c'est , pourquoi on a pas besoin de vérifier c'est un groupe commutatif , et les 4 propriétés que j'ai appris dans mon cours ????

et "c'est une combinaison linéaire d'éléments", je ne trouve pas un propriété comme ça dans mon livre !

[Jeanpaul]

Le produit a.f1 n'est pas commutatif car a est un réel et f1 une fonction. Ensuite, la multiplication est celle des réels, donc elle commute.
Mais pourrais-tu peut-être dire EXACTEMENT la définition d'un EV selon ton cours ?