Justification existence intégrale

[invitea15073b9]

Bonjour,

Je bloque un peu pour savoir comment justifier l'existence et calculer l'intégrale suivante:

Un=Int((x^n).ln(x)dx)

L'intégrale se fait de 0 à 1 pour tout n appartenant à N.

Merci d'avance pour vos réponses!

Charbonnier9
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[totoPa]

Comment l'intégrale peut être définie sur [0;1] alors que ln(x) ne l'est pas ?

[invitea15073b9]

C'est toute la difficulté de cette question. Il y a un problème de convergence en 0 qu'il faut résoudre pour pouvoir répondre à la question.

[totoPa]

Pour la calculer je ferais l'intégrale entre a et 1. Puis la limite quand a tend vers zéro. Quant à la justification je suis désolé je ne peux pas t'aider...

[A voir en vidéo sur Futura]

[NicoEnac]

Bonjour,

La fonction xⁿ.ln(x) n'est pas définie en 0 à cause du ln. Peux-tu trouver un prolongement par continuité en 0 ? Pense à la croissance comparée entre log et puissance.

Sinon, je pense que la méthode de totoPa est valable.

[invitea15073b9]

Merci pour votre aide les amis !

[breukin]

Ce n'est pas parce qu'une fonction n'est pas définie en 0, ni même parce qu'elle n'y est pas prolongeable par continuité, que son intégrale n'est pas définie.
L'intégrale :

est parfaitement définie, et vaut 1.