Exercice sur le determinant

[NIiCcOoWw]

Bonjour a tous,

J'ai un exercice à faire pour lundi et étant donné sa difficuté je m'y prends en avance. Malheureusement pas moyen d'avancer, je vous pose l'énoncé dans l'espoir que vous puissiez m'aider :

Soit Mn(R) de colonnes A1,.....An
a) Montrer que la valeur de absolue du determinant de A est inferieur ou égale au produit des normes euclidiennes canonique de des colonnes de A. A quelle condition a-t-on égalité ?

b) On suppose que tous les coefficients de A sont en valeur absolue inférieur ou égale a . Montrer que la valeur absolue de det(A) est inferieur ou égale à n^(n/2) .
Dans quel cas a-t-on égalité pour
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[Tiky]

La première question s'appelle l'inégalité d'Hadamard. L'inégalité est triviale si la famille de vecteur n'est pas libre. Suppose alors que cette famille est une base. Utilise le procédé de Gram-Schmidt pour obtenir une famille de vecteurs orthonormés. Quelle est la relation entre cette famille de vecteurs et celle initiale ?

[Tiky]

Je me rends compte que mon premier message n'est pas très clair. Je propose des questions intermédiaires :

1) Quelle est la relation entre le déterminant d'une famille de vecteur dans une base orthonormée B et le déterminant de cette même famille dans une nouvelle base orthonormée B'.

2) Lorsqu'on utilise le procédé de Gram-Schmidt sur une base U afin d'obtenir une base orthonormée B, de quelle forme est la matrice B ?

3) En déduire le déterminant de B.

4) Conclure à l'aide d'une inégalité bien connue dans les espaces préhilbertiens.

[NIiCcOoWw]

La première question s'appelle l'inégalité d'Hadamard. L'inégalité est triviale si la famille de vecteur n'est pas libre. Suppose alors que cette famille est une base. Utilise le procédé de Gram-Schmidt pour obtenir une famille de vecteurs orthonormés. Quelle est la relation entre cette famille de vecteurs et celle initiale ?

Si la famille est liée, pourquoi l'inégalité est triviale ?

Je fais essayer de répondre à tes questions :

1) J'ai la formule mais pour une des bases B et B' quelconque :

DetB'(e1,......en)= DetB'(B)*DetB(e1,.......en)

2) Elle est diagonale ?

3) Ça va être le produit des coefficients diagonaux ?

4) Cauchy Schwarz ?

[A voir en vidéo sur Futura]

[Tiky]

Si la famille est liée, le déterminant est nul. 0 minore le produit des normes.

Ta réponse 3) et 4) sont justes mais la 2) est fausse. Quant à la première, elle est bonne mais tu peux faire une simplification importante puisque les bases en question sont orthonormées (utilise des valeurs absolues).

Pour la question 2), regarde attentivement comment fonctionne le procédé de Gram-Schmidt.

[silk78]

Bonjour,

1) Dans le cas où B et B' sont orthonormées, que peut-on dire de la matrice de passage entre B et B' ? Que vaut alors son déterminant ?

2) Non elle n'est pas diagonale, mais elle possède quand même une structure assez sympathique. Celle-ci se voit assez bien quand on construit la base orthonormée par le procédé de GS : à partir de quels vecteurs construit t-on le i-ème vecteur orthonormé ?

3) Une fois répondu à la question 2) et en donnant l'expression de certains termes de la matrice, on répond facilement.

4) Ce semblerait assez bien convenir non ?

Silk

Edit : pas assez rapide ^^

[NIiCcOoWw]

Si la famille est liée, le déterminant est nul. 0 minore le produit des normes.

Ah oui c'est vrai, je suis bête !

Ta réponse 3) et 4) sont justes mais la 2) est fausse. Quant à la première, elle est bonne mais tu peux faire une simplification importante puisque les bases en question sont orthonormées (utilise des valeurs absolues).

Oui je me suis trompé elle est triangulaire

Si les bases sont orthonormées, cela change quelque chose à la formule ?

[Tiky]

La formule est plus simple puisqu'alors . Ça tombe bien. On veut une inégalité sur les valeurs absolues

[NIiCcOoWw]

C'est vrai uniquement si les deux bases sont orthonormées ? Dans mon cours il y a écrit : Il existe une unique forme n linéaire alternée f telle que f(e1,...en)=1, c'est le déterminant et on a DetB(e1,....en)=1. Dans mon cours on prend juste une base de E ( on précise pas qu'elle soit orthonormée )

[NIiCcOoWw]

C'est bon j'ai compris, le determinant dans une base orthonormée est indépendant de la base choisie, ce qui se traduit par la formule que vous avez écrite ! .

Et donc en utilisant ceci et toutes les indications que vous m'avez donné, je peux en déduire l'inégalité ?

[Tiky]

Oui tu peux. Il suffit de prendre ta matrice A. De considérer la matrice B correspondant à la base A après orthogonalisation de Gram-Schmidt. On a la relation et . Tu peux exprimer les à l'aide d'un produit scalaire.

[NIiCcOoWw]

Si j'ai bien compris B est la matrice colonne U1,.....Un avec (U1,.....Un) BON. Mais j'ai du mal à saisir alors pourquoi Det(A)=Det(B) ? C'est parce queles determiannts s'ecrivent dans la base canonique de qui est orthonormée et donc en utilisant la formule de changement de base on a le résultat ?

[NIiCcOoWw]

J'ai avancé un peu mais quelqu'un pourrait me rappeler pourquoi B est forcément triangulaire ?

[Elie520]

Bonjour.
Pour la deuxieme question, je n'y ai pas réfléchi honnetement, mais cela me fait penser au lemme de Siegel.
En espérant que ce lien t'aide.
Lemme de Siegel

Cordialement.
Elie520

[silk78]

Hmm, la deuxième question est une conséquence directe de la première en trouvant un majorant des normes des colonnes en fonction de alpha.

Sinon pour la matrice triangulaire : dans le procédé de G-S, le i-ième vecteur orthogonal est toujours compris dans un espace vectoriel engendré par certains vecteurs de départ. Comment ça se traduit sur la matrice ?

Silk

[NIiCcOoWw]

En fait c'est simplement du au fait que Vect( A1,....An)=Vect(U1,.....Un) c'est cela ? Le ième vecteur est combinaison linéaire des vecteurs (i-1),(i-2)....(i-n) et donc cela se traduit par une matrice triangulaire ?

[NIiCcOoWw]

Hmm, la deuxième question est une conséquence directe de la première en trouvant un majorant des normes des colonnes en fonction de alpha.

Sinon pour la matrice triangulaire : dans le procédé de G-S, le i-ième vecteur orthogonal est toujours compris dans un espace vectoriel engendré par certains vecteurs de départ. Comment ça se traduit sur la matrice ?

Silk

Oui pour la deuxième question c'est simple en fait en explicitant les normes des colonnes, merci !

[NIiCcOoWw]

Oui pour la deuxième question c'est simple en fait en explicitant les normes des colonnes, merci !

en fait non, j'obtient : , et il me faut du pas du

[silk78]

Pour la matrice, effectivement ça vient de Vect( A1,....An)=Vect(U1,.....Un). Par contre, U_i est combinaison linéaire de A₁,...,A_i. Si tu t'arrêtais à A_i-1, ta matrice serait triangulaire avec que des 0 dans la diag.


Sinon, pour la norme, n'oublie pas que dans le carré scalaire (qui redonne la norme en prenant la racine), c'est le carré de chaque coordonnées qui intervient.

Silk

[NIiCcOoWw]

Ah oui l'erreur de débutant !

Merci à tout ceux qui m'ont aidé, j'ai toujours de l'aide sur FS !