bonsoir,
j'aimerai une précision sur la preuve de l'énoncé de cauchy-schwarz
voici l'énoncé:
soient (x1,...,xn) et (y1,...,yn) deux vecteurs de R^n
on a alors l'inégalité
le cas x1=...=xn=0 est évident
dans la suite il considère un polynôme
comment trouve-t-on ce polynôme et comment trouve-t-on que son discriminant est négatif?
merci de votre aide
Dernière modification par Médiat ; 17/08/2011 à 19h48. Motif: Correction Latex
Bonsoir.
Euh, je t'avoue que je n'ai pas eu le courage de bien lire ce que tu avais écrit comme polynôme, mais voici quelque chose qui pourrait te rassurer.
L'idée de considérer un tel polynôme est en fait l'idée de la démonstration de l'inégalité de Cauchy-Schwarz dans le cas général. Tandis que celle que tu as ici n'est en fait qu'un cas particulier de cette célèbre inégalité, donc la démonstration générale peut sembler loufoque. Il existe cependant une démonstration bien plus intuitive adapté à ce cas, à base de manipulation de sommes. Je te laisse donc chercher de ce côté =) Bon courage.
Edit : Sinon, c'est un polynôme du second degré dont le signe est toujours positif (par construction). Donc son discriminant est négatif
Quod erat demonstrandum.
merci de ta réponse mais je pense que je vais me limiter à ce cas particulier car je n'ai pas encore vu les espaces préhilbertiens en cours.
je renouvelle donc ma question à propos de l'obtention du polynôme
La réponse reste la même.
Comment on trouve le polynôme? En développant P(t)=(tx-y)^2 où x est ta somme en x et y est ta somme en y. J'ai changé tes notations parce qu'elle me déplaisent.
Ça te fait un polynôme de degré 2 en t qui est positif. Ca implique évidemment que son discriminant est négatif (ou nul) et quand tu calcules le discriminant tu te rends compte que ça implique l'inégalité de Cauchy-Schwarz.
Pourquoi on a pensé à utiliser ce polynôme? Parce que ça marche et qu'on a travaillé fort pour trouver cette démonstration astucieuse...
donc en gros c'est une grosse astuce
merci
